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高等代数 课程 A 卷试题答案一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上）1. 8；2. 0；3. 0；4. ；5. 1或；6. ；7. 2；8. ； 9. 6；10. .二、选择题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(答题框)内）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A A C A C D C C B A三、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 计算n阶行列式。解：观察行列式，每一行只有一个而有个，于是将第2列，第3列，第列分别乘以1加到第1列，得 2. 设，求。解： 四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.求非齐次线性方程组的通解(用导出组的基础解系表示)：.解 对增广矩阵施行行初等变换与原方程组同解的齐次线性方程组为 令，得到非齐次方程组的一个解,对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中为自由未知量），令，得到对应齐次方程组的一个基础解系，方程组的通解为,其中为任意常数 2. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: 1=(1, 2, -1, 4)T, 2=(9, 100, 10, 4)T, 3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知r(1,2,3)=2. 因为向量1与2的分量不成比例, 故1, 2线性无关, 所以1, 2是一个极大无关组. 五、解答题（本题满分10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）求一个正交变换将二次型化成标准形. 解 二次型的矩阵为. 由,得A的特征值为l1=2, l2=5, l3=1. 当l1=2时, 解方程组(2E- A)X=0, 得特征向量1=(1, 0, 0)T. 当l2=5时, 解方程组(5E- A)X=0, 得特征向量(0, 1, 1)T. 将其单位化得. 当l3=1时, 解方程组(E-A)X=0, 得特征向量(0, -1, 1)T. 取将其单位化得. 于是有正交矩阵Q=(1,2,3)和正交变换X=QY, 使. 六、证明题（本题满分5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设A是一个n阶正定矩阵，则正
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