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_集合与简易逻辑典型例题解析例1 以下说法中正确的个数有（ ） 表示同一个集合 与 表示同一个集合；空集是唯一的； 与 ，则集合 。A3个 B2个 C1个 D0个例2 若集合： ， ，则M，N，P的关系是（ ）A B C D 例3 设全集 ， ， ，判断 与 之间的关系例4.如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A B C ISD IS例5 解不等式 例6 解不等式 例7 解不等式 （ 为参数）例8 不等式 的解是全体实数，求实数 的取值范围。例9 已知 ，且 ，（ ），求实数P的取值范围。例10 解关于 的不等式： 例11 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假（1）三个角相等的三角形不是直角三角形；（2） 的元素既是 的元素又是 的元素；（3）若 是 的元素或 是 的元素，则 是 的元素；（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；（5） 不是方程 的解例12 把下列命题改写成“ 则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两条平行线不相交（2）正数的算术平方根是正数例13 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题同时，也判断这些命题的真假（1）若 ，则 或 （2）若 ，则 （3）若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与 轴有公共点例14 已知三个关于 的方程： ， ， 中至少有一个方程有实数根，求实数 的取值范围例15 已知关于 的一元二次方程（ ） 求方程和的根都是整数的充要条件。例16 已知 ： ； ： 若 是 的必要而不充分条件，求实数 的取值范围1判断下列命题的真假：（1）已知若（2）（3）若则方程无实数根。（4）存在一个三角形没有外接圆。2已知命题且“”与“非”同时为假命题，求的值。3已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件。4已知； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围。5设，求证：不同时大于.6.命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根。若“或”为真命题，求的取值范围。答案1、解：集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。由 且 （其中 、 均为空集）由集合相等定义可知 即证明空集唯一性。对于要认识一个集合，应从以下方面入手判断集合元素是什么；元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。2、解 对集合 对集合 对于 ，故选B。3、解： 4、解 此阴影部分是属于M且属于P，即 。但又不属于S集，所以为 IS，故选C。5、这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论6、7、分析 这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论解：原不等式可化为 若 ，则 ，即 ，原不等式的解集为 ；若 ，即 或 ，则原不等式的解集为 ；若 ，即 或 ，则原不等式的解集为 因此，当 时，原不等式的解集为 ；当 或 时，原不等式的解集为 说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题8、分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有 且 ，特别要强调此时 。解：若 ，不等式为 ，其解集为 若 ，不等式为 ，其解集显然不是全体实数，故 不符合条件。若 ，不等式为二次不等式，有 解得 即 综上得， 说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。9、解：由 知，关于 的二次方程 无正根。（1）若方程无实根：，得 ；（2）若方程有实根 ， ，但无正根；此时由 ，得 或 ，而由韦达定理由 知两根均为正或均为负，由条件显然须 ， ，于是 ， 因此 由上述的（1），（2）得 的取值范围是 10、分析：由于字母系数 的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数 可正、可负，且对应二次方程的两个根2， 的大小也受 的影响，这些都应予以考虑。解：当 时，原不等式化为 ，其解集为 当 时，有 ，原不等式化为 ，其解集为 当 时， 。原不等式化为 ，其解集是 当 时，原不等式化为 ，其解集是 当 时，原不等式化为 ，其解集是 说明 对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况11、解：（1）这个命题是“非 ”的形式，其中 ：三个角相等的三角形是直角三角形因为 是假命题，所以这个命题是真命题（2）这个命题是“ 且 ”的形式，其中 ： 的元素是 的元素， ： 的元素是 的元素因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题（3）这个命题是“ 或 ”的形式，其中 ：若 是 的元素，则 是 的元素， ：若 是 的元素，则 是 的元素因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题（4）这个命题是“ 或 ”的形式，其中 ：两条对角线垂直的平行四边形是菱形， ：两条对角线垂直的平行四边形是正方形因为 是真命题， 是假命题，所以这个命题是真命题（5）这个命题是“非 ”的形式，其中 ： 是方程 的解因为 是真命题，所以这个命题是假命题12、解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数13、解：（1）该命题为真逆命题：若 或 ，则 为假否命题：若 ，则 ， ，为假逆否命题：若 ， ，则 为真（2）该命题为假逆命题：若 ，则 为真否命题：若 ，则 为真逆否命题：若 ，则 为假（3）该命题为假逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则 为假否命题：若二次函数 中， ，则该二次函数图象与 轴没有公共点为假逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则 为假评注：（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写（2）在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假”来判定14、点拨 这类求参数取值范围的问题，直接求需分类讨论，很繁冗若用反证法的思想和补集的思想求解，就一目了然解 设三个关于 的方程均无实数根，则 解，得 ；解，得 ，或 ；解，得 取，的交集，即不等式组的解集为 则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数 的取值范围应为 ，即 15、解 方程有实数根的充要条件是 ，解得 ；方程有实数根的充要条件是 ，解得 。所以 。而 ，得 ，或 ，或 。当 时，方程为 ，无整数根；当 时，方程为 ，无整数根；当 时，方程为 ，方程为 ，和的根都是整数。从而，和的根都是整数 ；反之， 和的根都是整数。所以方程和的根都是整数的充要条件是 。16点拨 可以有两个思路：（1）先求出 和 ，然后根据 ， ，求得 的取值范围；（2）若原命题为“若 ，则 ”，其逆否命题是“若 则 ”，由于它们是等价的，可以把求 是 的必要而不充分条件等价转换为求 是 的充分而不必要条件解法一 求出 ： 或 ， ： 或 由 是 的必要而不充分条件，知B A，它等价于 同样解得 的取值范围是 解法二 根据思路二， 是 的必要而不充分条件，等价于 是 的充分而不必要条件设 ： ； ： ；所以，A B，它等价于 同样解得 的取值范围是 1解：（1）为假命题，反例：（2）为假命题，反例：不成立（3）为真命题，因为无实数根 （4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆。 2解：非为假命题，则为真命题；为假命题，则为假命题，即 ，得 3解：