江苏省2019高考数学二轮复习 第18讲 等差数列、等比数列的基本问题课件.ppt

专题六数列第18讲等差数列、等比数列的基本问题,第18讲等差数列、等比数列的基本问题1.已知an是公差不为0的等差数列,Sn是其前n项和,若a2a3=a4a5,S9=27,则a1的值是.,答案-5,解析设等差数列an的公差为d(d0),S9=9a5=27,a5=3,则由a2a3=a4a5得(3-3d)(3-2d)=3(3-d),解得d=2,则a1=a5-4d=3-8=-5.,2.已知等差数列cn的首项c1=1.若2cn+3为等比数列,则c2017=.,答案1,解析设等差数列cn的公差为d,因为c1=1,则2c1+3=5,2c2+3=2d+5,2c3+3=4d+5,由2cn+3为等比数列得(2c1+3)(2c3+3)=(2c2+3)2,则5(4d+5)=(2d+5)2,解得d=0,则c2017=c1=1.,3.等差数列an的前m项(m为奇数)之和为77,其中偶数项之和为33,且a1-am=18,则an的通项公式为.,答案an=-3n+23,4.已知数列an中,a1=1,a2=4,a3=10.若an+1-an是等比数列,则ai=.,答案3049,解析a2-a1=3,a3-a2=6,则等比数列an+1-an的公比是2,则an+1-an=32n-1,则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+3(1+2+22+2n-2)=1+3=32n-1-2,则ai=3(1+2+22+29)-20=3-20=3(210-1)-20=3049.,5.数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an,nN*,Sn=|a1|+|a2|+|an|,则Sn=.,答案,解析由an+2=2an+1-an,nN*可得数列an是等差数列.又a1=8,a4=2,则公差d=-2,an=8-2(n-1)=10-2n,当an0时,即10-2n0时,n5,所以当1n5,nN*时,Sn=a1+a2+an=-n2+9n;当n6时,Sn=a1+a5-(a6+an)=n2-9n+40,综上可得,Sn=,题型一等差、等比数列的运算,例1(1)(2018徐州高三考前模拟)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5+a7+a9=10,-=36,则S10的值为;(2)(2018扬州高三第三次调研)已知an是等比数列,Sn是其前n项和.若a3=2,S12=4S6,则a9的值为.,答案(1)(2)2或6,解析(1)因为an是等差数列,所以a1+a3+a5+a7+a9=5a5=10,即a5=2,设公差为d,则-=(a8+a2)(a8-a2)=2a56d=24d=36,d=,则a6=a5+d=,S10=5(a5+a6)=.(2)由S12=4S6得等比数列的公比q1,则=,化简得1-q12=4(1-q6),解得q6=1或q6=3,又a3=2,则a9=a3q6=2或6.,【方法归纳】(1)灵活应用等差数列、等比数列的性质可简化运算,如an是等差数列,且m+n=p+q,m,n,p,qN*,则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2p,m,n,pN*,则am+an=2ap;如an是等比数列,且m+n=p+q,m,n,p,qN*,则aman=apaq,特别地,m+n=2p,m,n,pN*,则aman=.(2)通项公式中含参数的数列成等差数列或等比数列时,一般利用特殊值法建立方程求参数的值.(3)进行运算求解时要注意等价,如本例(2)容易漏解,判断出q1后从“1-q12=4(1-q6)”两边同时约去1-q6导致遗漏2,即q=-1的情况,所以在约分时要慎重.,1-1(2015江苏扬州中学高三第四次模拟)已知数列an与(nN*)均为等差数列,且a1=2,得a10=.,答案20,解析设等差数列an的公差为d,则由(nN*)为等差数列,且a1=2,得=4,=,=成等差数列,则4+=2,解得d=2,故a10=a1+9d=20.,题型二等差、等比数列的证明,例2(2018江苏五校高三学情检测)已知数列an,bn满足:bn=an+3an+1,nN*.(1)若bn=n,a2+a3=0,求a1的值;(2)设an=bn+bn+1,a1=-1,a2=,求证:数列bn从第2项起成等比数列;(3)若数列bn成等差数列,且b1=5a2-a3,试判断数列an是否成等差数列?并证明你的结论.,解析(1)当n=1,2时,可得a1+3a2=1,a2+3a3=2,又a2+a3=0,从而可得a1=4.(2)证明:由a1=-1,a2=,可得b1=a1+3a2=-,b2=a1-b1=-,又因为bn=an+3an+1,an=bn+bn+1,所以bn=(bn+bn+1)+3(bn+1+bn+2),即4bn+1=-3bn+2,nN*.又b2=-0,所以bn+1=-bn,nN*且n2,所以数列bn从第2项起成等比数列.(3)an成等差数列.证明如下:,由b1=5a2-a3可得a1+3a2=5a2-a3,即a3-2a2+a1=0;由bn=an+3an+1可得bn+1=an+1+3an+2,bn+2=an+2+3an+3.又因为数列bn成等差数列,从而bn+2-bn+1=bn+1-bn,即bn+2-2bn+1+bn=0,从而bn+2-2bn+1+bn=(an+2+3an+3)-2(an+1+3an+2)+(an+3an+1)=0,即an+2-2an+1+an=-3(an+3-2an+2+an+1),所以an+2-2an+1+an=an-1(a3-2a2+a1)=0,故an+2-an+1=an+1-an,所以数列an成等差数列.,【方法归纳】判断或证明数列是等差(等比)数列的两种方法定义法:对于任意自然数n(n1),验证an+1-an为同一常数.中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若=an-1an+1(an0,nN*,n2),则an为等比数列.利用递推公式证明等差或等比数列,一般利用等差、等比中项法,利用通项公式证明等差或等比数列,一般利用定义法.,2-1(2018南通高三第二次调研)设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1,b2,b3,b4的公差为d,且q1,d0.记ci=ai+bi(i=1,2,3,4).(1)求证:数列c1,c2,c3不是等差数列;(2)设a1=1,q=2.若数列c1,c2,c3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;(3)数列c1,c2,c3,c4能不能为等比数列?并说明理由.,解析(1)证明:假设数列c1,c2,c3是等差数列,则2c2=c1+c3,即2(a2+b2)=(a1+b1)+(a3+b3).因为b1,b2,b3是等差数列,所以2b2=b1+b3,从而2a2=a1+a3.又因为a1,a2,a3是等比数列,所以=a1a3.所以a1=a2=a3,这与q1矛盾,从而假设不成立.所以数列c1,c2,c3不是等差数列.(2)因为a1=1,q=2,所以an=2n-1(n=1,2,3,4).因为=c1c3,所以(2+b2)2=(1+b2-d)(4+b2+d),即b2=d2+3d,由c2=2+b20,得d2+3d+20,所以d-1且d-2.又d0,所以b2=d2+3d,定义域为dR|d-1,d-2,d0.(3)设c1,c2,c3,c4成等比数列,其公比为q1,则,将+-2得,a1(q-1)2=c1(q1-1)2,将+-2得,a1q(q-1)2=c1q1(q1-1)2,因为a10,q1,得c10,q11.由得q=q1,从而a1=c1.代入得b1=0.再代入,得d=0,与d0矛盾.所以c1,c2,c3,c4不成等比数列.,题型三等差、等比数列的综合问题,例3(2018江苏,14,5分)已知A=x|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*.将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an+1成立的n的最小值为.,答案27,则Tl=22l-2+2l+1-2,则l,Tl,n,an+1的对应关系为,观察到l=5时,Tl=S2112a39,则n22,38),nN*时,存在n,使Sn12an+1,此时T5=A1+A2+A16+B1+B2+B3+B4+B5,则当n22,38),nN*时,Sn=T5+=n2-10n+87.,an+1=An+1-5=An-4,12an+1=122(n-4)-1=24n-108,Sn-12an+1=n2-34n+195=(n-17)2-94,则n27时,Sn-12an+10,即nmin=27.,【方法归纳】等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用数列的性质,可使运算简便,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.,3-1设数列an,bn分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列.(1)已知b1=1,b2b3-b2+6=0,求数列bn的前n项和Sn;(2)已知数列an的公差为d(d0),且a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2,求数列an,bn的通项公式(用含n,d的式子表达).,解析(1)设bn的公比为q,则有q3-q+6=0,即(q+2)(q2-2q+3)=0,所以q=-2,从而Sn=.(2)由a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n