高考数学总复习专题五立体几何5.3空间向量与立体几何课件理.ppt

5.3空间向量与立体几何,高考命题规律1.每年必考考题,主要考查空间位置关系的证明和空间角的求解.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,空间位置关系证明与线面角求解1.(2018全国18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018全国20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2016全国19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2015全国18)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,1.(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,ABC=120.(1)证明:ADA1B;(2)若平面ADD1A1平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明取AD中点O,连接OB,OA1,BD,AA1=A1D,ADOA1.又ABC=120,AD=AB,ABD是等边三角形,ADOB,AD平面A1OB.A1B平面A1OB,ADA1B.,(2)解平面ADD1A1平面ABCD,平面ADD1A1平面ABCD=AD,又A1OAD,A1O平面ABCD,OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018辽宁抚顺一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE平面PAD;(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明设F为PD的中点,连接EF,FA.,(2)解设G为AB的中点,因为AD=AB,BAD=60,所以ABD为等边三角形,故DGAB;因为ABCD,所以DGDC.又PD平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2018福建福州3月质检)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:A1C平面DEF;(2)若A1CEF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1CDK,又A1C平面DEF,DK平面DEF,所以A1C平面DEF.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解由(1)知,EHAA1,因为AA1平面ABC,所以EH平面ABC,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018东北三省三校二模)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,BAD=120,AB=2,E,F为CD,AA1的中点.(1)求证:DF平面B1AE;(2)若AA1底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明设G为AB1的中点,连接EG,GF,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解因为ABCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等边三角形.取BC中点M,则AMAD,因为AA1平面ABCD,所以AA1AM,AA1AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t0),高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,5.(2018湖南长沙一模,18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,ADE,BCF均为等边三角形,EFAB,EF=AD=AB.(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)当N为线段FC的中点时,使得AF平面BDN.证法如下:连接AC,BD,设ACBD=O,四边形ABCD为矩形,O为AC的中点,又N为FC的中点,ON为ACF的中位线,AFON.AF平面BDN,ON平面BDN,AF平面BDN,故N为FC的中点时,使得AF平面BDN.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)过点O作PQAB分别与AD,BC交于点P,Q,因为O为AC的中点,所以P,Q分别为AD,BC的中点,ADE与BCF均为等边三角形,且AD=BC,ADEBCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MOPQ,又ADEP,ADPQ,EPPQ=P,AD平面EPQF,过点O作OGAB于点G,则OGAD,OGOM,OGOQ.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,空间位置关系证明与二面角求解1.(2018全国19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2017全国18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解在平面PAD内作PFAD,垂足为F.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2017全国19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,5.(2016全国18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.(1)证明由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解过D作DGEF,垂足为G,由(1)知DG平面ABEF.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明:平面CMN平面CEN;(2)若ACBC,求二面角M-CN-A1的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018河北石家庄一模)四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD为正三角形.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)因为BC平面SDM,BC平面ABCD,平面SDM平面ABCD=DM,所以BCDM.因为ABDC,所以四边形BCDM为平行四边形,又AB=2CD,所以M为AB的中点.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)因为BCSD,BCCD,SDCD=D,所以BC平面SCD,又因为BC平面ABCD,所以平面SCD平面ABCD,平面SCD平面ABCD=CD,在平面SCD内过点S作SE直线CD于点E,则SE平面ABCD,在RtSEA和RtSED中,又由题知EDA=45,所以AEED,所以AE=ED=SE=1,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)在半圆柱中,BB1平面PA1B1,所以BB1PA1.因为A1B1是上底面对应圆的直径,所以PA1PB1.因为PB1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1.(2)以点C为坐标原点,以CA,CB为x,y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.如图所示,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018江西南昌一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABCD为直角梯形,ADBC,ADAB,AB=BC=AP=AD=3,ACBD=O,过O点作平面平行于平面PAB,平面与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.(1)求GH的长度;(2)求二面角B-FH-E的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)因为平面PAB,平面平面ABCD=EF,OEF,平面PAB平面ABCD=AB,所以EFAB,同理EHBP,FGAP,因为BCAD,AD=6,BC=3,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,5.(2018山东淄博二模,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,ACC1=CC1B1,直线AC与直线BB1所成的角为60.(1)求证:AB1CC1;,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,各侧面均为平行四边形,所以BB1CC1,则ACC1即为AC与BB1所成的角,所以ACC1=CC1B1=60.连接AC1和B1C,因为CA=CB=CC1=2,所以AC1C和B1CC1均为等边三角形.取CC1的中点O,连AO和B1O,则AOCC1,B1OCC1.又AOB1O=O,所以CC1平面AOB1.AB1平面AOB1,所以AB1CC1.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,6.(2018湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且DAB=60,EA=ED=AB=2EF,EFAB,M为BC中点.(1)求证:FM平面BDE;(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明取CD中点N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点,所以MNBD.又BD平面BDE,且MN平面BDE,所以MN平面BDE,因为EFAB,AB=2EF,所以EFCD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FNED.又ED平面BDE且FN平面BDE,所以FN平面BDE,又FNMN=N,所以平面MFN平面BDE.又FM平面MFN,所以FM平面BDE.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解取AD中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EOAD.因为平面ADE平面ABCD,所以EO平面ABCD,EOBO.因为AD=AB,DAB=60,所以ADB为等边三角形.因为O为AD中点,所以ADBO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB=4,以O为原点,OA,OB,OE为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系O-xyz,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,7.(2018辽宁大连一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.(1)求证:EF平面DCP;(2)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)(方法一)取PC中点M,连接DM,MF.,MFDE,MF=DE,四边形DEFM为平行四边形,EFDM,EF平面PDC,DM平面PDC,EF平面PDC.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(方法二)取PA中点N,连接NE,NF.E是AD中点,N是PA中点,NEDP,又F是PB中点,N是PA中点,NEAB,ABCD,NFCD,又NENF=N,NE平面NEF,NF平面NEF,DP平面PCD,CD平面PCD,平面NEF平面PCD.又EF平面NEF,EF平面PCD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(方法三)取BC中点G,连接EG,FG,在正方形ABCD中,E是AD中点,G是BC中点,GECD,又F是PB中点,G是BC中点,GFPC,又PCCD=C,GE平面GEF,GF平面GEF,PC平面PCD,CD平面PCD,平面GEF平面PCD.EF平面GEF,EF平面PCD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)PA平面ABC,且四边形ABCD是正方形,AD,AB,AP两两垂直,以A为原点,AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,折叠问题、点到平面的距离,(1)证明:DH平面ABCD;(2)求二面角B-DA-C的正弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明由已知得ACBD,AD=CD.,所以OH=1,DH=DH=3.于是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHOH.又DHEF,而OHEF=H,所以DH平面ABCD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2015陕西18)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图.(1)证明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明在题图中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC,即在题图中,BEOA1,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明EFAC,POEF.平面PEF平面ABFED,平面PEF平面ABFED=EF,且PO平面PEF,PO平面ABD.(2)解如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,连接BO,PO平面ABD,PBO为PB与平面ABD所成的角,即PBO=45,PO=BO.设AOBD=H,DAB=60,BDA为等边三角形,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明取AD的中点O,连接OB,OP,BA=BD,EA=ED,即PA=PD,OBAD且OPAD,又OBOP=O,AD平面BOP,而PB平面BOP,PBAD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,POOB,OP,OB,OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,3.(2018东北三省三校三模)已知等腰直角SAB,SA=AB=4,SAAB,C,D分别为SB,SA的中点,将SCD沿CD折到SCD的位置,SA=,取线段SB的中点为E.(1)求证:CE平面SAD;(2)求二面角A-EC-B的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明取SA中点F,连接DF,EF,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解SD=AD=2,SA=,SD2+AD2=SA2.SDAD.SDCD,SD平面SCD,SD平面ABCD,AD,CD平面ABCD,SDAD,SDCD,又ADDC,DA,DC,DS两两互相垂直,如图所示,分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,4.(2018山东济南一模)如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中,ABCD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O平面BCO1O.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQOB.(1)证明:OD平面PAQ;(2)若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m,则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解BE=2AE,AQOB,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,5.(2018安徽安庆二模)如图,四边形ABCD是矩形,沿对角线AC将ACD折起,使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.(1)求证:平面ACD平面BCD;(2)当=2时,求二面角D-AC-B的余弦值.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明设点D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,则DE平面ABC,所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形,所以ABBC.因为ABDE=E,所以BC平面ABD,所以BCAD.又ADCD,CDBC=C,所以AD平面BCD,而AD平面ACD,所以平面ACD平面BCD.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(2)解以点B为原点,线段BC所在的直线为x轴,线段AB所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设|AD|=a,则|AB|=2a,所以A(0,-2a,0),C(-a,0,0).,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,探究性问题(2016北京17)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(2)解取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,解(1)当M,N为各棱中点时,AD平面B1MN.证明如下:连接CD,CNB1D且CN=B1D=BC,四边形B1DCN为平行四边形,DCB1N.又DC平面B1MN,B1N平面B1MN,DC平面B1MN.M,N为各棱中点,ACMN,又AC平面B1MN,MN平面B1MN,AC平面B1MN.DCAC=C,平面ADC平面B1MN,又AD平面ADC,AD平面B1MN.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,2.(2018湖北宜昌调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ADBC,AB=BC=PA=1,AD=2,PAD=DAB=ABC=90,点E在棱PC上,且CE=CP.(1)求证:CDAE;(2)是否存在实数,使得二面角C-AE-D的余弦值为?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷高分,(1)证明过点C作CFAB交AD于点F,AB=BC=1,AD=2,DAB=ABC=90,CD2+AC2=4=AD2,CDAC.PAD=90,PAAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PA平面ABCD,PACD.PA,AC平面PAC,且PAAC=A,CD平面PAC,CDAE.,高考真题体验对方向,新题演练提能刷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