顺序统计量.ppt

第2节顺序统计量,一、定义,定义：,设(X1,X2,Xn)是从总体X中抽取的一个样本，(x1,x2,xn)是其中一个观测值，将观测值按从小到大的次序重新排列为：,(1)(1)(),定义：X(k)取值为x(k)(k=1,2,n)，由此得到,(1),(2),(),称其为样本(X1,X2,Xn)的次序统计量，对应的(1),(2),()称为其观测值。,特别的,说明,()=m1为最大顺序统计量,(1)=min1为最小顺序统计量,由于每个X(k)都是样本(x1,x2,xn)的函数，所以，(1),2),()也都是随机变量并且它们一般不相互独立。,X(k)称为第k个顺序统计量(即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大排序后的第k个值).,二、常用顺序统计量,极差中位数分位数四分位数,1、极差,=()为样本极差,极差反映了随机变量X取值的分散程度。,排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即=1=,2、中位数,位置确定：中位数位置=+,数值确定：=+,为奇数最大观测值xmax=x(n);中位数m0.5;第一4分位数Q1=m0.25第三4分位数Q3=m0.75。所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。,三、顺序统计量的分布,1、单个顺序统计量的分布,设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为:,=!1!11(),证明：对任意的实数x，考虑次序统计量x(k)取值落在小区间(x,x+x内这一事件，它等价于“样本容量为n的样本中有1个观测值落在区间(x,x+x之间，而有k-1个观测值小于等于x，有n-k个观测值大于x+x”，其直观示意图见下图,x(k)的取值示意图,样本的每一分量小于等于x的概率为F(x),落入区间(x,x+x概率为F(x+x)-F(x),落入区间(x+x,b的概率为1-F(x+x)，而将n个分量分成这样的三组，总的分法有!1!1!种，于是，若以Fk(x)记x(k)的分布函数，则由多项分布可得,两边同除以x,并令x0,即有,推论1：最大次序统计量x(n)的概率密度函数为,推论2：最小次序统计量x(1)的概率密度函数为,=!1!11(),=lim0+(),1=1()1(),=()1(),按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：设F(x)是总体X的分布函数，X1，X2，,Xn为X的样本，X(1),X(2),X(n)为顺序统计量，F(1)(x),F(n)(x)分别表示随机变量X(1),X(n)的分布函数，则对任意实数x有：,=P(1,2,),=1,=,=1,1=1=11,=1P(1,2,),=1=1,=1,=11,按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：,当X为连续型随机变量且有密度函数f(x)时，则X(1),X(n)也是连续型随机变量，且它们的密度函数分别为：,=()=()1(),1=1()=1()1(),例1：设总体X分布为U(0,),X1,X2,Xn是取自总体的样本，试写出X(1),X(n)的密度函数.,例2：设总体XG(l)，X1,X2,Xn为X的样本。求：f(1)(x)，f(n)(x)。,=,0&0,0,F=1,0&0,0,1=1()1(),=1,00,0,=()1(),=11,00,182）m1,518=1max1,518,=1118，,518=1=1518=11185=1181235=125=10.97725=0.1089,2）m1,59=1m1,59,=119，,59=1195=1191235=1115=115=10.84135=0.5785,例4：设总体X的密度函数为f=32,01，现从该总体中抽得一个容量为5的样本，试计算(212)=?,解：我们首先应求出x(2)的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为,可以得到x(2)的密度函数为,于是,四、思考,样本X1,X2,Xn是一组独立同分布的随机变量，那么顺序统计量(1),(2),()是否是一组独立同分布的随机变量？,设总体X的分布如下:,现抽取容量为3的样本,共有27种可能取值,列表如下,例5：设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布，,其分布各不相同,进而可得X(1)与X(2)的联合分布如下:,X(1)与X(2)并不独立,X(1),由此可得X(1),X(2),X(3)的分布列如下:,注:在一个样本中,X1,X2，,Xn是独立同分布的,而次序统计量X(1),X(2),X(n)则可能既不独立,分