毕业论文-线性代数在中学数学中癿应用.doc

天水师范学院本科毕业论文分类号:_编号:_毕业论文题目线性代数在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名杨俊飞专业数学与应用数学学号291010140研究类型理论研究指导教师唐保祥提交日期2013.04天水师范学院本科毕业论文天水师范学院本科毕业论文原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：天水师范学院本科毕业论文目录摘要.1ABSTRACT.1前言.2第1章行列式在中学数学中的应用.11.1用行列式证明等式.31.2用行列式分解因式.41.3行列式在解析几何中的应用.5第2章线性方程组在中学数学中的应用.7第3章二次型理论在中学数学中的应用.9第4章矩阵与变换引入中学数学的意义及应用.114.1中学数学引入矩阵的意义.114.2中学数学中矩阵与变换.124.3线性变换面积定理.124.4利用矩阵的秩判断两直线位置关系.13结论.14参考文献.15致谢.16天水师范学院本科毕业论文0摘要线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用本文共分为四个部分：行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程关键词：行列式齐次线性方程组二次型矩阵AbstractLinearalgebraisabranchofmathematics.Itisamathematicalfoundationcourse.Inrecentyearssomecontentofhighermathematicsarebeguntolearnbymiddleschoolstudents.AndLinearalgebrahasalsowideapplicationinelementarymathematics.Thispaperisdividedintofourparts.InthesepartswewillgivealotofexamplestoshowsomeapplicationsofdeterminantLinearequationsquadratictheorymatrixandtrans.Keywords:determinanthomogeneouslinearsystemquadraticmatrix天水师范学院本科毕业论文1引言线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力天水师范学院本科毕业论文2第11章行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.11.1用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明.例11已知，求证.0abc+=3333abcabc+=证明：令，则3333Dabcabc，0000abcabcabcabcDcabcabcabbcabcabca+=即33330abcabc+-=例22已知，求证：.1axby+=1bxcy+=1cxay+=222abbccaabc+=+证明：令，则有222()()()()Dabbccaabcabcbcbcac=+-+=-+-+-.1101100110acabaxbyabDbacacxaycacbbcbxcybc-+-=-=+-=-+-例33在中，求证.ABC222coscoscos12coscoscosABCABC+=-天水师范学院本科毕业论文3证明由于2221coscoscoscoscos2coscoscos1cos1coscoscos1CBABCABCCABA-+-=-coscoscoscos0coscos11coscos1cos01cos0coscoscos10cos1abCBCBCBaCbcAAAaaaBbBcAA-+=-+-=-=+-所以，在中，成立.ABC222coscoscos12coscoscosABCABC+=-例44求证：.222coscoscos()2coscoscos()1abababab+-+=证明：因为2221coscoscos1cos()12coscoscos()coscoscos()coscos()1Dabaabababababaab=+=+-+又，221000sinsinsin00sinsinsinDaababb=-=-故222coscoscos()2coscoscos()1abababab+-+=1.21.2用行列式分解因式由行列式的定义，.由此启发，我们可以把一1112112212212122aaaaaaaa=-个代数式看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即F天水师范学院本科毕业论文4(均为代数式)，于是.由此即可根据行列式的FMNPQ=-MNPQMPFQN=性质，对某些多项式进行因式分解.例11分解因式.43262420 xxxx+-解：4322262420(61)4(65)xxxxxxxx+-=+-+22221165(4)461461xxxxxxx-+=-+.22(4)(65)(2)(1)(2)(5)xxxxxxx=-+=-+例22将分解因式.3386abab+-解：332111862(2)222ababababababbaba+-=+.22(2)(224)abababab=+-+例33分解因式.222222abbccaacbacb+-解：222222222222()()()abbccaacbacbabcbcacab+-=-+-+-.222()()()111abcabcabbcca=-利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.1.31.3行列式在解析几何中的应用天水师范学院本科毕业论文5定理11（1）以平面内三点为顶点的的面2112233()()()AxyBxyCxyABCD积的绝对值.11223311121xySxyxy=（2）通过两点的直线方程为.1122()()PxyQxy11221101xyxyxy=例求过点和点的直线的方程.()23()14解由，得直线的方程为.12310141xy=50 xy+-=（3）平面内三条直线.111122223333:0:0:0LaxbycLaxbycLaxbyc+=+=+=相较于一点或互相平行的充要条件是：.1112223330abcabcabc=推论平面上三点在一条直线上的充要条件是2112233()()()PxyQxyRxy.1122331101xyxyxy=定理22通过平面上三点的圆的方程为2112233()()()AxyBxyCxy.2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy+=+天水师范学院本科毕业论文6例11平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.证明：设三个圆的方程分别为.两两相减得三220(123)iiixyDxEyFi+=条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为121212131313323232()()()0()()()0()()()0DDxEEyFFDDxEEyFFDDxEEyFF-+-+-=-+-+-=-+-+-=三条直线方程的系数行列式为1212121212121313132323233232323232320DDEEFFDDEEFFDDDEEFFDDEEFFDDEEFFDDEEFF-=-=-=-故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题居高临下让人耳目一新.第22章线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学就学过，主要是研究若干变量的相互关系，比如下面就是一个线性方程组的例子：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人解设大和尚的数目是，小和尚的数目是，则有xy，解之得100131003xyxy2575xy天水师范学院本科毕业论文7其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方3程组的系数行列式等零.例11已知函数证明、中至少有一个不小于2()fxxaxb=+(1)f(2)f(3)f.12解把=123代入函数表达式列方程组x(1(1)02(4(2)03(9(3)0abfabfabf上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解故展开111(1)214(2)0319(3)fff-=-整理得，假设结论不成立即(1)2(2)(3)2fff-+=1(1)2f1(2)2f易推出从而产生矛盾故命题成立.1(3)2f2(1)2(2)(3)2fff例22已知，求证：.xayz=+ybzx=+zcxy=+12abbccaabc+=-证明：由已知得关于得方程组xyz000 xayazbxybzcxcyz因为不可能为零，所以由定理知xyz1101aabbcc化简得即.10abcabcacbcab-=12abbccaabc+=-天水师范学院本科毕业论文8由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组构造三阶行列式其解题思路新颖能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.第33章二次型理论在中学数学中的应用考虑一个n元二次型：2221211112121122222()2.22nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxaxXAX，其中.121(.)ijnaRijnXxxx111211222212nnnnnnAaaaaaaaaa定义一个二次型经过非线型替换变成的平方和412()nfxxx，称为的222121122()nnnfxxxdxdxLdx1(1)idRin12()nfxxx标准型.定理11实数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替412()nfxxx换变成平方和（1）的形式.定理22一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条4件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1.例11试判断下列多项式在R上能否分解，若能，分解之.22121212121)()2423fxxxxxxxx=+2212121222)()3241fxxxxxxx=-+-解1)1)令则，2212312121323()2423gxxxxxxxxxxx=+1212()(1)fxxgxx=下面考虑的秩和符号差，对作非线性替换:123()gxxx123()gxxx天水师范学院本科毕业论文9112322333214yxxxyxxyx，即11232233312214xyyyxyyxy有，可见的秩是3，有定理2，知2221231231()28gxxxyyy=-+123()gxxx不能分解，从而也不能分解.123()gxxx12()fxx解2)2)令，则下面考2221231212233()324gxxxxxxxxxx=-+-+1212()(1)fxxgxx=虑的秩和符号差.对作非线性替换123()gxxx123()gxxx112223332yxxyxxyx，即11232233311221()2xyyyxyyxy有，从而，可见的秩2212312()gxxxyy=-22121212()(1)fxxgxxyy=-12()fxx为2，符号差为0，有定理2，知可以分解，且12()fxx2212121212121212()(1)()()(31)(1)fxxgxxyyyyyyxxxx=-=+-=+-定理22对于n元实二次型为的特征值则41212(.).nnfxxxXAXlll=A对于任意有.nXR12min(.)maxiniXXfxxxXX例33设是实数且满足.则的最大值与最小值是.xy223xxyy+=22xxyy-+_解令则的矩阵.22112()()112xfxyxxyyxyy()fxy112112A令因此特征值.11312()()012212IA121322ll=天水师范学院本科毕业论文10由定理得注意到解得222213()()()22xyfxyxy()3fxy=.又从而2226xy2222222()()2()3xxyyxyfxyxy-+=+-=+-所以的最大值为9最小值为1.2219xxyy22xxyy-+由此可见运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型在12(.)nfxxx条件下的取值范围解法流程清晰易于掌握.21niixa第44章矩阵与变换引入中学数学的意义及应用新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进行初步的探讨.4.14.1中学数学引入矩阵的意义中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据提供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备基础.但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，中学数学引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途天水师范学院本科毕业论文11径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式-克拉姆法则，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供帮助.例如网络图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可以用矩阵表达或者求解，引入矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工具.4.24.2中学数学中矩阵与变换中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用.用二阶矩阵确定的变换，就是构造映射，使平面上abAcd的点变成点，这个映射的对应法则就是左乘，在这xyabxxcdyyabcd个变换中，矩阵称之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换.abcd例11已知在一个二阶矩阵对应变换作用，点变成了点点M()12A()710A变成了点，求矩阵.()20B()24BM解设，则，.abMcd17210abcd2204abcd所以，解得，所以.272102224abcdac1324abcd1324M4.34.3线性变换面积定理天水师范学院本科毕业论文12定理11线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数这个倍数就5是变换行列式的绝对值.例11在平面直角坐标系中已知平面区域xoy()|100Axyxyxy且则平面区域的面积为.()|()BxyxyxyA_解依题意平面区域A是由围成的三角形面积S为()01O(10)C(01)D12平面区域变成平面区域所对应的变换矩阵为则变换行列式的绝对AB1111值所以平面区域的面积为.11det211BS12124.44.4利用矩阵的秩判断两直线位置关系定理22设空间两直线：，6111122220:0AxByCzDLAxByCzD333344440:0AxByCzDLAxByCzD设矩阵的秩为矩阵的秩为，则111222333444ABCABCAABCABC()rA1111222233334444ABCDABCDAABCDABCD()rA1）当=4时，两直线异面；2）=2时，两直线重合；3）=3()rA()rA()rA()rA时，两直线相交；4）=3时，两直线平行.()rA()rA例判断两直线和的位置关系.140:310 xyzLxyz22350:3560 xyzLxyz解111411141021113202260113213501130000315602260000行变行变故=2，所以直线与直线重合.()rA()rA1L2L天水师范学院本科毕业论文13结论线性代数是数学的一个组成部分，是学习其它学科的重要工具，可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识而近年来先线性代数以被广泛的应用到了中学数学中学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡