Matlab原理与应用课程设计-结合双线性变换法设计一个数字切比雪夫带通IIR滤波器.doc

课程设计任务书课程设计任务书 学生姓名：学生姓名： 专业班级：专业班级： 通信通信 1303 指导教师：指导教师： 工作单位：工作单位： 信息工程学院信息工程学院 题题 目目:利用利用 MATLAB 仿真软件系统结合双线性变换法设计一个数字切比仿真软件系统结合双线性变换法设计一个数字切比 雪夫带通雪夫带通 IIR 滤波器。滤波器。 初始条件：初始条件： 1 MATLAB 编程的基础知识 2信号与系统滤波器的相关知识 3数字信号处理的相关知识 要求完成的主要任务要求完成的主要任务: : （包括课程设计工作量及技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1、课程设计工作量：1 周。 2、技术要求： 1）设计一个数字滤波器，要求运用切比雪夫原理和双线性变换法 2）具有带通的功能，能够滤除小频率的信号和大频率的信号 3）能够让频带内的信号通过 4) 确定设计方案，按功能模块的设计程序，写出总体程序，并阐述基本原理。 5) 查阅至少 5 篇参考文献。按武汉理工大学课程设计工作规范要求撰写设计报告书。全文用 A4 纸打印，图纸应符合绘图规范。 时间安排：时间安排： 序序 号号 阶段内容阶段内容所需时间所需时间 1 方案设计1 天 2 软件设计2 天 3 系统调试1 天 4 答辩1 天 合 计5 天 指导教师签名：指导教师签名： 年年 月月 日日 系主任（或责任教师）签名：系主任（或责任教师）签名： 年年 月月 日日 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 I 摘 要 面对庞杂繁多的原始信号, 如何提取所需信号、抑制不需要的信号这就需要使用滤 波器。滤波器的作用主要是选择所需频带的信号内容而抑制不需要的其他频带的信号内 容。数字滤波器因其精度高、可靠性好、灵活性大等优点, 在语音信号处理、信号频谱 估计、信号去噪、无线通信中的数字变频以及图像处理等工程实际应用中都很广泛。 MATLAB 是“矩证实验室” （MATrix LABoratoy）的缩写，它是一种以钜阵运算为基础 的交互式程序语言，专门针对科学工程计算机绘图的需求。与其他计算机语言相比， 其特点是简洁和智能化，适应科技专业人员的思维方式和书写习惯，使得编程和调试效 率大大提高 本次课程设计将完成一个数字切比雪夫带通 IIR 滤波器的设计，利用双线性变换和 无限冲激响应 IIR 原理完成设计，并利用 MATLAB 进行仿真。 关键字：滤波器、数字信号处理、噪声、IIR、带通、MATLAB 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 II Abstract Faced with a huge variety of original signal, how to extract the desired signal, suppress the signal does not need to use the filter. The function of the filter is to select the signal content of the desired frequency band and suppress the signal content of the other frequency band which is not needed. Digital filter because of the advantage of its high accuracy, good reliability and great flexibility, in speech signal processing, signal spectrum estimation, signal to noise, wireless communication in the digital frequency conversion and image processing etc. in actual engineering application is very widespread. Matlab is the abbreviation of moment of laboratory medicine (matrix LABoratoy) it is a kind of to huge operational matrices based interactive programming language, specifically for the needs of science and engineering computer graphics. Compared with other computer languages, it is characterized by its simplicity and intelligence, the way of thinking and writing habits, which makes the programming and debugging efficiency greatly improved. The curriculum design will be completed a digital Chebyshev bandpass IIR filter design, using bilinear transform and infinite impulse response IIR principle of the completion of design, and is simulated with MATLAB. Keywords: filter, digital signal processing, noise, IIR, band-pass, MATLAB 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 III 目录 摘 要.I ABSTRACT.II 1 前言.1 2 数字滤波器 .2 2.1 数字滤波器介绍.2 2.2 IIR 数字滤波器 .3 2.2.1 IIR 数字滤波器的特点 .3 2.2.2 IIR 数字滤波器与 FIR 数字滤波器的区别 .4 3 切比雪夫滤波器 .4 3.1 概述 .4 3.2 切比雪夫滤波器的种类 .5 4 双线性变换法 .8 5 IIR 数字滤波器设计原理与方法 .12 5.1 IIR 数字滤波器设计原理 .12 5.2 IIR 数字滤波器设计的基本方法.14 6 IIR 带通滤波器的 MATLAB 设计.16 6.1 IIR 带通滤波器的设计步骤 .16 6.2IIR 带通滤波器设计 .16 6.4 仿真结果.20 6.4.1 滤波器性能仿真 .20 6.4.2 滤波器性能验证 .21 7. 用 FDATOOL 设计数字滤波器.26 8 总结与体会.30 9 致谢.32 参考文献.33 附录： 源程序.34 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 1 1 前言 在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号的 处理和分析都是基于滤波器而进行的。数字滤波器可以理解为是一个计算程序 或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列， 并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波器有多种分类，根据数 字滤波器冲激响应的时域特征，可将数字滤波器分为两种，即无限长冲激响应 (IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。但是，传统的数字滤波器的设计 使用繁琐的公式计算，改变参数后需要重新计算，从而在设计滤波器尤其是高 阶滤波器时工作量很大。利用 MATLAB 信号处理箱(Signal Processing Toolbox)可 以快速有效地实现数字滤波器的设计与仿真。 本文设计一个 IIR 数字带通滤波器。IIR 数字滤波器具有无限宽的冲激响应， 与模拟滤波器相匹配，所以 IIR 滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的基 础上进一步变换的方法。其设计方法主要有经典设计法、直接设计法和最大平 滑滤波器设计法。在对滤波器实际设计时，整个过程的运算量是很大的。 设计完成后对已设计的滤波器的频率响应要进行校核，要得到幅频、相频 响应特性，运算量也是很大的。平时所要设计的数字滤波器，阶数和类型并不 一定是完全给定的，很多时候要根据设计要求和滤波效果不断地调整，以达到 设计的最优化。在这种情况下，滤波器设计就要进行大量复杂的运算，单纯的 靠公式计算和编制简单的程序很难在短时间内完成。利用 MATLAB 强大的计算功 能进行计算机辅助设计，可以快速有效地设计数字滤波器，大大地简化了计算 量。 滤波器的功能是让一定频率范围内的信号通过，而将此频率范围之外的信 号加以抑制或使其急剧衰减。当干扰信号与有用信号不在同一频率范围之内， 可使用滤波器有效的抑制干扰。 用 LC 网络组成的无源滤波器在低频范围内有 体积重量大，价格昂贵和衰减大等缺点，而用集成运放和 RC 网络组成的有源滤 波器则比较适用于低频，此外，它还具有一定的增益，且因输入与输出之间有 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 2 良好的隔离而便于级联。由于大多数反映生理信息的光电信号具有频率低、幅 度小、易受干扰等特点，因而 RC 有源滤波器普遍应用于光电弱信号检测电路中 数字滤波器的实用型式很多，大略可分为有限冲激响应型和无限冲激响应 型两类，可用硬件和软件两种方式实现。在硬件实现方式中，它由加法器、乘 法器等单元所组成，这与电阻器、电感器和电容器所构成的模拟滤波器完全不 同。数字信号处理系统很容易用数字集成电路制成，显示出体积小、稳定性高、 可程控等优点。数字滤波器也可以用软件实现。软件实现方法是借助于通用数 字计算机按滤波器的设计算法编出程序进行数字滤波计算。 带通滤波器是指能通过某一频率范围内的频率分量、但将其他范围的频率 分量衰减到极低水平的滤波器，与带阻滤波器的概念相对。一个模拟带通滤波 器的例子是电阻-电感-电容电路(RLC circuit)。这些滤波器也可以用低通滤波 器同高通滤波器组合来产生. 2 数字滤波器 2.1 数字滤波器介绍 数字滤波器由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。数 字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号 频谱的目的。 数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号转 换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置） 。基本工作原理是利用离散系 统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有 用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。与模拟滤波器相比,数字滤 波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、 稳定性好(仅运行在 0 与 l 两个电平状态)、灵活性强等优点。应用数字滤波器 处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤 波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 3 频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即 1/2 抽样频率点呈镜像对称。为 得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤 波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字 滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域 都得到了广泛应用。 数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以是时不变的或时 变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。数字滤波器根据其冲激响应函 数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激 响应(FIR)数字滤波器。 2.2 IIR 数字滤波器 IIR(Infinite Impulse Response)数字滤波器，又名“无限脉冲响应数字 滤波器” ，或“递归滤波器” 。递归滤波器，也就是 IIR 数字滤波器，顾名思义， 具有反馈，一般认为具有无限的脉冲响应。 2.2.1 IIR 数字滤波器的特点 IIR 滤波器有以下几个特点： 1、封闭函数 IIR 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。 2、IIR 数字滤波器采用递归型结构 IIR 数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR 滤波器运算 结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准 型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理， 使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。 3、借助成熟的模拟滤波器的成果 IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、 契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较 小，对计算工具的要求不高。在设计一个 IIR 数字滤波器时，我们根据指标先 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 4 写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数 字滤波器的公式。 4、需加相位校准网络 IIR 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准 网络。 2.2.2 IIR 数字滤波器与 FIR 数字滤波器的区别 1、单位响应 IIR 数字滤波器单位响应为无限脉冲序列，而 FIR 数字滤波器单位响应为 有限的；FIR 滤波器，也就是“非递归滤波器” ，没有引入反馈。这种滤波器的 脉冲响应是有限的。 2、幅频特性 IIR 数字滤波器幅频特性精度很高，不是线性相位的，可以应用于对相位 信息不敏感的音频信号上；FIR 数字滤波器的幅频特性精度较之于 IIR 数字滤 波器低，但是线性相位，就是不同频率分量的信号经过 FIR 滤波器后他们的时 间差不变，这是很好的性质。 3、实时信号处理 FIR 数字滤波器是有限的单位响应也有利于对数字信号的处理，便于编程， 用于计算的时延也小，这对实时的信号处理很重要。 3 切比雪夫滤波器 3.1 概述 目的：构造一个模拟低通滤波器。为了从模拟滤波器出发设计 IIR 数字滤 波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指 标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 5 模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤 波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤 波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些典型的滤波器各有 特点。这里介绍切比雪夫滤波器。 切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在 通带波动的为“I 型切比雪夫滤波器” ，在阻带波动的为“II 型切比雪夫滤波器” 。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特 性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最 小，但是在通频带内存在幅度波动。 这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以记念俄罗斯数学家巴夫 尼提列波维奇切比雪夫。 3.2 切比雪夫滤波器的种类 根据频率响应曲线波动位置的不同，切比雪夫滤波器可以分为以下两种： 1、I 型切比雪夫滤波器： 在通带（或称“通频带” ）上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“I 型 切比雪夫滤波器” ； 2、 II 型切比雪夫滤波器： 在阻带（或称“阻频带” ）上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为“II 型切比雪夫滤波器” 。 3.3 特点 切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。 切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频 特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差 最小，但是在通频带内存在幅度波动。 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠 近截止 处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的 阶次 N 很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 6 。切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以在同 样的通常内衰减要求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。 切比雪夫滤波器的振幅平方函数为 (3-1) 式中 c 为有效通带截止频率， 表示与通带波纹有关的参量， 值越大通带不 动愈大。VN（x）是 N 阶切比雪夫多项式，定义为 (3-2) 切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示： N 为偶数，cos2( )=1，得到 min， ， （3-3） N 为奇数，cos2( ，得到 max， （3-4） 图 3-1 切比雪夫滤波器的振幅平方特性 有关参数的确定: a、通带截止频率： 预先给定; 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 7 b、 与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成 （3-5） 所以, , 给定通带波纹值 分贝数后，可求得 。 、阶数 N:由阻带的边界条件确定。 、A2 为事先给定的边界条件,即在阻 带 中的频率点处 ,要求滤波器频响衰减到 1/A2 以上。 (3-6) (3-7) (3-8) （3-9） 因此，要求阻带边界频率处衰减越大，要求 N 也越大，参数 N， 给定后， 查阅有关模拟滤波器手册，就可求得系统函数 Ha(s)。 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 8 4 双线性变换法 目的：将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从 S 平面 到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频 率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T 之间，再用 z=esT 转换到 Z 平面上。也就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的- /T/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=es1T 将此横带变换到 整个 Z 平面上去。这样就使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除 了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 4-1。 图 4-1 双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j1 轴上的-/T 到 /T 段 上，可以通过以下的正切变换实现 （4-1） 式中,T 仍是采样间隔。 当 1 由-/T 经过 0 变化到 /T 时， 由-经过 0 变化到+，也即映 射了整个 j 轴。将式（4-1）写成 (4-2) 2 tan 2 1T T 2/2/ 2/2/ 11 11 2 TjTj TjTj ee ee T j o -11 Z jImz Rez / T j1 1 -/ T S1S j oo 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 9 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面，令 j=s，j1=s1，则得 (4-3) 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z=es1T 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为： （4-4) （4-5) 式（4-4）与式（4-5）是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换 都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。 双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把 z=ej，可得 （4-6） 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆。 其次，将 s=+j 代入式（4-5） ，得 因此 （4-7） 由此看出，当 0 时，|z|0 时，|z|1。也就是说，S 平面的左 半平面映射到 Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外， S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变 换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 Ts Ts TsTs TsTs e e T Ts Tee ee T s 1 1 11 11 1 12 2 tanh 22 1 2/2/ 2/2/ 1 1 1 12 z z T s s T s T s T s T z 2 2 2 1 2 1 j T j e e T s j j 2 tan 2 1 12 j T j T z 2 2 2 2 2 2 2 2 | T T z 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 10 双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优 点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应 关系。S 平面整个 j 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变 换关系。这个关系重写如下： （4-8） 上式表明，S 平面上 与 Z 平面的 成非线性的正切关系，如图 4-2 所示。 由图 4-2 看出，在零频率附近，模拟角频率 与数字频率 之间的变换关系 接近于线性关系；但当 进一步增加时， 增长得越来越慢，最后当 时， 终止在折叠频率 = 处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超 过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。 图 4-2 双线性变换法的频率变换关系 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，由于这 种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模 拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性 相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型 的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高 通、带通、带阻型滤波器的响应特性） ，不然变换所产生的数字滤波器幅频响应 相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 4-3 所示。 2 tan 2 T -o 2 tan 2 T 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 11 图 4-3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤 波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通 过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换 后正好映射到所需要的数字频率上。 o o o )j( a H )(ejH o o o )(earg j H )j(arg a H 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 12 5 IIR 数字滤波器设计原理与方法 5.1 IIR 数字滤波器设计原理 利用 MATLAB 信号处理工具箱中的滤波器设计和分析工具(FDATool)可以很 方便地设计出符合应用要求的未经量化的 IIR 数字滤波器。需要将 MATLAB 设计 出的 IIR 数字滤波器进一步分解和量化，从而获得可用 FPGA 实现的滤波器系数。 IIR 数字滤波器的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器 设计已经有了相当成熟的技术和方法，有完整的设计公式，还有比较完整的图 表可以查询，因此设计数字滤波器可以充分利用这些丰富的资源来进行。 对于 IIR 数字滤波器的设计具体步骤如下： (1)按照一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器 的技术指标。 (2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器 G(s)(G(s)是低通滤波器的 传递函数)。 (3)再按照一定的规则将 G(s)转换成 H(z)(H(z)是数字滤波器的传递函数)。 若设计的数字滤波器是低通的，上述的过程可以结束，若设计的是高通、 带通或者是带阻滤波器，那么还需要将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指 标转换为低通模拟滤波器的技术指标，然后设计出低通 G(s)，再将 G(s)转换为 H(z)。IIR 滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可 以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。 由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。 IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、 契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较 小，对计算工具的要求不高。在设计一个 IIR 数字滤波器时，我们根据指标先 写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 13 字滤波器的公式。IIR 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时， 需加相位校准网络。 在 MATLAB 下设计 IIR 滤波器可使用 Butterworth 函数设计出巴特沃斯滤波 器，使用 Cheby1 函数设计出契比雪夫 I 型滤波器，使用 Cheby2 设计出契比雪 夫 II 型滤波器。与 FIR 滤波器的设计不同，IIR 滤波器设计时的阶数不是由设 计者指定，而是根据设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带滤纹、阻 带衰减等） ，由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。在 MATLAB 下设计 不同类型 IIR 滤波器均有与之对应的函数用于阶数的选择。 IIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为 （5-1） 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 M k k k N k k k b z Y z H z X z a z 假设 MN，当 MN 时,系统函数可以看作一个 IIR 的子系统和一个(M-N) 的 FIR 子系统的级联。IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则） 去逼近系统的特性。如果在 S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在 z 平 面上去逼近，就得到数字滤波器。 设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用 方法。 图 5-1 数字滤波器设计的两种方法 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 14 方法 1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要 的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应 的数字高通、带通或带阻滤波器。 方法 2 ：先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双 线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低 通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。 方法一的缺点是，由于产生混叠失真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或 阻带滤波器，故一般采用第二种方法进行设计。 本课程设计先构造一个切比雪夫模拟低通滤波器，然后将模拟低通滤波器 转换成模拟带通滤波器，最后利用双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带 通滤波器。 5.2 IIR 数字滤波器设计的基本方法 IIR 数字滤波器的设计方法有两类,一类是借助于模拟滤波器的设计方法设 计出模拟滤波器,利用冲激响应不变法或双线性变换法转换成数字滤波器,再用 硬件或软件实现；另一类是直接在频域或时域中进行设计,设计时需要计算机作 辅助工具。随着 MATLAB 软件尤其是 MATLAB 的信号处理工作箱的不断完善,不 仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能,而且还可以使设计达到最优化。 IIR 数字滤波器设计的基本步骤如下: (1) 根据任务,确定性能指标。在设计一个滤波器之前,首先根据工程实际 的需要确定滤波器的技术指标如：边界频率：p ，s ，c ；阻带最小衰 减 As 和通带最大衰减 Rp； (2) 将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标。利用冲激响应不变 法与双线性变换法进行频率间的转换，主要是边界频率 Wp 与 Ws 的转换。 （3) 用模拟滤波器设计方法得到模拟滤波器的传输函数 Ha ( s) ；可借助 巴特沃斯(Butterworth) 滤波器、切比雪夫(Chebyshev) 滤波器、椭圆(Cauer) 滤波器、贝塞尔(Bessel) 滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的 曲线和图表供设计人员使用。 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 15 (4) 映射实现。利用双线性变换法将模拟滤波器 Ha ( s) 转换成数字滤波 器 H( z ) 。 (5) 用有限精度算法实现这个系统函数 H ( z ) (包括选择运算结构、选 择合适的字长、有效数字处理方法 )。 (6) 用适当的软、硬件技术实现。包括采用通用计算机软件、数字滤波器 硬件或者软硬件结合，确定 DF 采用的结构将会影响其精度、稳定性、经济性及 运算速度等很多重要性质。 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 16 6 IIR 带通滤波器的 MATLAB 设计 6.1 IIR 带通滤波器的设计步骤 根据以上 IIR 数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于 MATLAB 设 计一个 IIR 带通滤波器。IIR 带通滤波器的设计框图如下： 图 6-1 IIR 带通滤波器的设计框图 设计的 IIR 带通滤波器是从低通变换过来的，利用的是双线性变换以及切 比雪夫 II 滤波器的原型，其具体的设计流程如图所示。首先根据题目要求确定 带通滤波器的技术指标，先要进行频率的预畸变，并且归一化频率，再设计出 切比雪夫 II 模拟低通滤波器，并求出其阶数等相关参数。其次利用双线性变换 法设计数字带通滤波器， ，再调用函数进行双线性变换，并求出分子、分母的系 数向量。最后通过画图求出其幅频响应、相频响应、幅度特性曲线与零极点， 并画出波形图。最后进行验证，看所设计的滤波器能否达到要求的指标，若能 达到，则说明该滤波器设计符合要求。 6.2IIR 带通滤波器设计 根据以上 IIR 数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于 MATLAB 设 计一个 IIR 带通滤波器，其中带通的中心频率为 wp0=0.55，;通带截止频率 wp1=0.45, wp2=0.65;通带最大衰减 Ap=1dB;阻带最小衰减 As=40dB;阻带截 止频率 ws2=0.75 (1)确定性能指标 模拟低通滤 波器的设计 模拟频带变换：低 通变高通、带通等 滤波器变换： 模拟变为数字 IIR 滤波器 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 17 在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标: 通带截止频率 wp1=0.45,wp2=0.65;阻带截止频率 ws1=0.3，ws2=0.75；阻带最小衰减 As=40dB 和通带最大衰减 Ap=1dB;中心 频率 wp0=0.55。 (2)频率预畸变 用 =2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器 H(z)的数字边界频率预畸变,得到带 通模拟滤波器 H(s)的边界频率主要是通带截止频率 Wp1,Wp2;阻带截止频率 Ws1，Ws2 的转换。双线性变换法一般 T=2s。 通带截止频率 Wp1=(2/T)*tan(wp1/2) Wp2=(2/T)*tan(wp2/2) 阻带截止频率 Ws1=(2/T)*tan(ws1/2) Ws2=(2/T)*tan(ws2/2) (3)模拟带通性能指标转换成模拟低通性能指标 BW=Wp2-Wp1； %带通滤波器的通带宽度 W0=Wp1*Wp2； WP=1； %归一化处理 WS=WP*(W02-Ws12)/(Ws1*BW)； (4)模拟低通滤波器的构造 借助切比雪夫(Chebyshev)滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数 Ha(s)。 (5)模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器 调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。 (6)模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 利用双线性变换法将模拟带通滤波器 Ha(s)转换成数字带通滤波器 H(z)。 (7)输入信号检验滤波器性能 输入不同频率的正弦波，观察输出波形，检验滤波器性能。 6.3 Malab 程序 （1）数字滤波器部分 clear %数字滤波器的技术指标 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 18 wp1=0.45*pi; wp2=0.65*pi; wp0=0.55*pi; ws1=0.3*pi; ws2=0.75*pi; Ap=1; As=40; T=2; %带通到低通的频率变换 Wp1=(2/T)*tan(wp1/2); Wp2=(2/T)*tan(wp2/2); Ws1=(2/T)*tan(ws1/2); Ws2=(2/T)*tan(ws2/2); Wp=(2/T)*tan(wp0/2); BW=Wp2-Wp1; %带通滤波器的通带宽度 W0=Wp1*Wp2; WP=1; %归一化处理 WS=WP*(W02-Ws12)/(Ws1*BW); %切比雪夫模拟低通原型滤波器设计 N,Wn=cheb1ord(WP,WS,Ap,As,s); B1,A1=cheby1(N,Ap,Wn,s); %模拟低通原型滤波器幅频特性曲线(dB) h1,w1=freqs(B1,A1); subplot(3,2,1);plot(w1/pi,20*log(abs(h1);grid on; xlabel(w(rad); ylabel(|H(jw)|.dB); title(模拟低通滤波器幅频特性曲线); % 由模拟低通原型滤波器变换为模拟带通滤波器 B2,A2=lp2bp(B1,A1,Wp,BW); h2,w2= freqs(B2,A2); %模拟带通滤波器幅频特性曲线(dB) subplot(3,2,2);plot(w2,20*log(abs(h2);axis(0,3,-400,50);grid on; 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 19 xlabel(w(rad); ylabel(|H(jw)|.dB); title(模拟带通滤波器幅频特性曲线); %双线性变换：由模拟滤波器向数字滤波器的变换 B3,A3=bilinear(B2,A2,0.5); h,w=freqz(B3,A3,64); phz=unwrap(angle(h); %数字带通滤波器幅频响应曲线 subplot(3,2,3);plot(w/pi,abs(h); xlabel(w(rad);ylabel(|H(z)|); title(数字带通滤波器幅频特性曲线); %数字带通滤波器幅频响应曲线(dB) subplot(3,2,4);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(-1,2,-250,50); xlabel(w(rad);ylabel(|H(z)|.dB); title(数字带通滤波器幅频特性曲线); %数字带通滤波器相频特性曲线(dB) subplot(3,2,5);plot(w/pi,phz);grid on; xlabel(w(rad); ylabel(H(z); title(数字带通滤波器相频特性曲线); （2）输入正弦波检验性能部分 %输入正弦波波验证滤波器特性 n=0:600;t=n/11000; x1=2*sin(2*pi*2750*t) ;%正弦波信号 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 20 figure; subplot(121);plot(x1);grid on;%500Hz 正弦波波形 axis(0,10*pi,-5,5); xlabel(t(s); ylabel(x1); title(正弦波信号); y1=filter(B3,A3,x1) ;%数字滤波函数输出 subplot(122);plot(y1) ;grid on;%数字滤波器输出波形 axis(0,10*pi,-3,3); xlabel(f(hz); ylabel(y); title(数字滤波器输出波形); 注:应输入一系列不同频率的正弦波进行验证，只需将 x1=2*sin(2*pi*2750*t) 中的 2750 频率值改变即可，这里取 500HZ、2750HZ 和 5000HZ 进行验证。 6.4 仿真结果 6.4.1 滤波器性能仿真 源程序设计了模拟低通滤波器、模拟带通滤波器与数字带通滤波器等滤波 器，对各部分滤波器的性能仿真如下，下面五个图分别为模拟低通原型滤波器 幅频特性曲线、模拟带通滤波器幅频特性曲线、数字带通滤波器幅频响应曲线 （有两个） 、数字带通滤波器相频特性曲线，可以看到各部分滤波器波形基本满 足设计要求。 武汉理工大学Matlab 原理与应用课程设计说明书 21 01234 -200 -100 0 w(rad) |H(jw)|.dB 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 0123 -400 -200 0 w(rad) |H(jw)|.dB 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 00.51 0 0.5 1 w(rad) |H(z)| 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 -1012 -200 -100 0 w(rad) |H(z)|.dB 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 00.51 -5 0 5 w(rad) H(z) 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 图 6-3 滤波器性能仿真 6.4.2 滤波器性能验证 为了验证滤波器性能，可以输入一些频率不同的正弦波，观察通阻状态， 因为通带截止频率 wp1=0.45,wp2=0.65;阻带截止频率 ws1=0.3，ws2=0.75，中心频率 wp0=0.55，所以可以将测试频率分别定 在通带内，阻带内，和截止区，通带内分别输入 2750HZ,2650HZ，阻带内分别 输入 1700HZ,和 3650HZ，截止区分别输入 1000HZ 和 4000HZ 进行验证仿真后的 结果如下： 1)通带内验证仿真