毕业设计（论文）-经济问题中的数学方法.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE 7， 运筹学的经济学应用. 课题任务要求 1.目的：培养学生科学的思维方式，综合运用所学理论、知识和技能分析和解决实际问题的能 力，是学生毕业前全面素质教育的重要实践训练。 2.要求 （1）根据毕业论文任务书完成开题报告； （2）研究要系统、完整、科学、严谨； （3）按时完成毕业论文； （4）论文及相关材料符合“长沙理工大学毕业论文管理条例”和“数计学院毕业论文工作条 例” 课题完成后应提交的资料（或图表、设计图纸） 主要参考文献与外文翻译文件（由指导教师选定） 1胡尧之等译. 回忆马克思恩格斯【M】. 北京:人民出版社,1957. 73. 2萨缪尔森. 经济分析基础【M】. 北京:北京经济学院出版社,1990. 3王宏昌编.诺贝尔经济学奖获得者讲演集【M】.北京:中国社会科学出版 社,1994.22. 4陈璋. 经济学中数学意义的若干思考【J】. 经济学动态,2000,(1):5860. 5于忠文主编.高等数学 【M】济南：山东大学出版社，1992 6陈纪修、於崇华、金路主编.数学分析【M】北京：高等教育出版社，1999 7 同济大学数学系编，高等数学【M】.北京：高等教育出版社，2007：1-300 8Richhard Courant、Fritz John.Introduction to Calculus andAnalysisi Volume2 .HarperCollins.International Standard Book Number：006088150X 9尚馥娟.微分方程研究经济问题的数学建模【J】商场现代化，2008,1,527期 10SheldonRoss.AFirstCourseinProbability.Universityofcalifornia Berkeley.PRENTICE HALL,Upper Saddle River ,New Jersey 07458 11 魏综舒等著，概率论与数理统计教程【M】 ，北京：北京大学出版社，1995 12 宋念慈，钟百根编著.财务数学【M】 ，北京：对外经济贸易大学出版社， 2000： 1-297 13 杨学华，刘天雄主编.新编财务会计【M】.长沙：长沙电力学院，2001：1-325 14 小林龙一著（日） ，何之杰译.运筹学概论【M】 ，北京：国防工业出版社，1985 同组设计者 注：1. 此任务书由指导教师填写。如不够填写，可另加页。 2. 此任务书最迟必须在毕业设计（论文）开始前一周下达给学生。 3. 此任务书可从教务处网页表格下载区下载 二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表 序序 号号 毕毕 业业 设设 计（论计（论 文）工文）工 作作 任任 务务 工工 作作 进进 度度 日日 程程 安安 排排 周周 次次 1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161717181819192020 1搜集资料一 2开题报告一一 3英文翻译一一 4撰写毕业论文一一一一一一一一 5中期检查一 6毕业论文修改一 7毕业论文答辩一 8毕业论文资料整理一 9 10 注：1. 此表由指导教师填写； 2. 此表每个学生人手一份，作为毕业设计（论文）检查工作进度之依据； 3. 进度安排请用“一”在相应位置画出。 三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表 时间第一阶段第二阶段第三阶段 内容组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况 检 查 记 录 教师 签字 签字日期签字日期签字日期 注：1. 此表应由指导教师认真填写。阶段分布由各学院自行决定。 2. “组织纪律”一档应按长沙理工大学学生学籍管理实施办法精神，根据学生具体执行情况，如实填写。 3. “完成任务情况”一档应按学生是否按进度保质保量完成任务的情况填写。包括优点，存在的问题与建议 4. 对违纪和不能按时完成任务者，指导教师可根据情节轻重对该生提出忠告并督促其完成。 四、学生毕业设计（论文）装袋要求：四、学生毕业设计（论文）装袋要求： 1. 毕业设计 （论文） 按以下排列顺序印刷与装订成一本 （撰写规范见教务处网页） 。 (1) 封面(2) 扉 页 (3) 毕业设计（论文）任务书(4) 中文摘要 (5) 英文摘要(6) 目录 (7) 正文(8) 参考文献 (9) 致谢(10) 附录（公式的推演、图表、程序等） (11) 附件 1：开题报告（文献综述）(12) 附件 2：译文及原文影印件 2. 需单独装订的图纸（设计类）按顺序装订成一本。 3. 修改稿（经、管、文法类专业）按顺序装订成一本。 4.毕业设计(论文)成绩评定书一份。 5论文电子文档由各学院收集保存。 学生送交全部文件日期 学生（签名） 指导教师验收（签名） 经济问题中的数学方法 经济问题中的数学方法 摘要 本文通过适当的数学工具对相应经济问题进行了数学表述， 运用数学模型辅助对经 济问题进行定量分析。并通过理论与实例相结合的方法研究了微积分、概率统计等高等 数学方法在经济领域某些问题中的应用，文章分六部分阐述了经济问题中的数学方法。 第一部分，主要介绍了数学方法及模型在经济学中运用的意义。 第二部分，从导数的概念引入经济领域里的边际分析与弹性分析，并通过案例阐述 了导数在经济学中的应用。 第三部分，主要基于数学模型谈积分在经济分析中的应用。 第四部分，通过逻辑斯谛方程来讨论了微分方程在经济学中的应用。 第五部分，讲了概率统计在经济信息价格评估及现代金融理论中的应用。 第六部分，主要通过应用实例来分析运筹学在经济管理中的应用 关键词：数学方法；经济问题；数学模型；分析应用 经济问题中的数学方法 MATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICAL METHODMETHODMETHODMETHOD ININININ THETHETHETHE ECONOMICECONOMICECONOMICECONOMIC ISSUEISSUEISSUEISSUE ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT In this paper, we make quantitative analysis to economic issue with the help of mathematical model. Whats more, by combining the theory with examples, we show the applyment of calculous, probability theory and operational research in solving some problems on economic field. The paper is studied in six parts. First, we introduce the applyment of mathematics and models in economics. Secondly, we study the marginal analysis and elastic analysis,and also explain its applyment. Thirdly, we mainlystudiedtheapplymentofcalculousineconomicsbasedonmathematicl model.Fourthly, according to logistic equation, we talk about the applyment of differential eguation. Fifthly, we mainly study the applyment of probability theory in price, evaluation and morden finance.Sixly, we aralyse the applyment of operational research in economic. KeyKeyKeyKey wordswordswordswords : : : :mathematical method;economic issue;mathematical model;analytical appliance 经济问题中的数学方法 目录目录目录目录 1引言.1 2数学方法及模型在经济学中运用的意义.2 2.1 数学方法在经济学中运用的意义2 2.2 经济数学模型的意义3 3导数在经济学中的应用.4 3.1 导数的概念4 3.2 边际分析与弹性分析4 3.3 导数在最值问题上的应用7 4积分在经济学中的应用.9 4.1 积分的概念9 4.2 基于数学模型谈积分在经济分析中应用12 5微分方程在经济学中的应用.14 5.1 逻辑斯谛方程14 5.2 微分方程的一般用法17 6概率统计在经济中的应用.18 6.1 经济信息价格的评估角度和评估方法18 6.2 概率统计思想在现代金融理论中的应用24 6.3 现实生活中的概率统计思想25 6.4 生活中的游戏27 7运筹学的经济学应用.29 7.1 运筹学的原则和处理问题的工作步骤29 7.2 运筹学在经济管理中的应用实例30 8结语.34 参考文献.35 致谢.36 经济问题中的数学方法 第 1 页 共 36 页 1引言 随着社会的发展，科技的进步，数学对于经济学的渗透日益广泛深入。微积分、 概 率统计、 运筹学等高等数学方法在经济领域的应用已经相当普遍。 马克思曾经说过： “一 种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。” 萨缪尔森在其经济 分析基础中文版序言中也曾经断言，不使用数理经济学方法，是“不能使人超越经济 科学的幼儿园的。”现代经济理论工作者们也越来越清晰地意识到，在经济理论研究中 仅靠过去普遍采用的文字描述方法进行思辨式推理分析， 很难保证对所讨论问题前提的 规范性及推理逻辑的一致性和严密性，也就难以保证研究结论的准确性、易证实性和理 论体系的精密性，这就极不利于经济学科知识准确地、低成本地积累、交流和传播。 而 数学方法则能使经济学研究对象明确具体、 经济变量之间的关系数量化以及保证逻辑推 理过程的严密性，最终将保证在理论上得出的结论具体明确，使相应的经济理论建立在 坚实的科学基础上， 从而减少或消除经济关系中的不确定因素， 促进经济科学不断发展。 自从威廉配第在政治算术中“用数字、重量和尺度的词汇”来分析经济现象、 并 确定经济发展存在着客观规律性以后的三百多年来， 数学方法在经济学研究中得到了广 泛的应用和发展，而且对经济学的发展产生了深刻的影响，作出了巨大的贡献。 经济问题中的数学方法 第 2 页 共 36 页 2数学方法及模型在经济学中运用的意义 2.1 数学方法在经济学中运用的意义 数学方法是进行经济学研究的重要手段和有效工具， 它对经济学的发展产生了深刻 的影响。 文章着重对我国经济学数学分析方法运用中存在的问题及解决问题的对策作一 些粗浅的探讨。 一、在经济学中应用数学方法是经济科学发展的内在要求和必然趋势。 马克思说过：“一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。” 1 萨缪尔森在其经济分析基础中文版序言中也曾经断言，不使用数理经济学方法， 是“不能使人超越经济科学的幼儿园的。” 2 现代经济理论工作者们也越来越清晰地意 识到，在经济理论研究中仅靠过去普遍采用的文字描述方法进行思辨式推理分析，很难 保证对所讨论问题前提的规范性及推理逻辑的一致性和严密性， 也就难以保证研究结论 的准确性、易证实性和理论体系的精密性，这就极不利于经济学科知识准确地、低成本 地积累、交流和传播。而数学方法则能使经济学研究对象明确具体、经济变量之间的关 系数量化以及保证逻辑推理过程的严密性，最终将保证在理论上得出的结论具体明确， 使相应的经济理论建立在坚实的科学基础上，从而减少或消除经济关系中的不确定因 素，促进经济科学不断发展。自从威廉配第在政治算术中“用数字、重量和尺度 的词汇”来分析经济现象、并确定经济发展存在着客观规律性以后的三百多年来，数学 方法在经济学研究中得到了广泛的应用和发展，而且对经济学的发展产生了深刻的影 响，作出了巨大的贡献。例如现正在使用的边际分析、弹性分析、均衡分析、回归分析、 主成分分析、聚类分析、投入产出模型、经济增长模型、经济控制模型、博奕论模型等 都是利用数学工具来解释或解决实际经济问题的， 它们对经济科学的发展也作出了巨大 的贡献。 二、数学方法在经济学研究中的作用和重要性,还可从经济学的最高奖项诺贝 尔经济学奖的获奖名单中得到证实。 考察1969年至2000年三十多年间获该项奖的四十多 位经济学家及其他们的获奖成果，其中有3/4都是因正确地运用了数学方法研究经济理 论和经济基础问题而取得重大成果的， 特别值得一提的是弗里希教授和丁伯根教授作为 “把经济学发展为数学的和定量的科学的先行者” 3 而获得1969 年第一届诺贝尔经济 经济问题中的数学方法 第 3 页 共 36 页 学奖这一殊荣的典范；事隔二十多年，1994 年诺贝尔经济学奖授予纳什、泽尔腾和海 萨尼则又是因他们用作为现代数学分支的博弈论(主要是非合作博弈论) 的模型和方法 来研究具有冲突和合作性质的经济问题而取得突破性成果的；2000 年瑞典皇家科学院 又把诺贝尔经济学奖授予因在微观计量经济学领域作出杰出贡献的美国经济学詹姆斯 赫克曼和丹尼尔麦克法登，足见数学方法在经济学研究中的重大作用。在经济学中应 用数学方法也是西方经济学方法论演变趋势所致。19 世纪西方经济学方法论的思想基 础是西方科学哲学中的“证实主义”，而20 世纪则是“证伪主义”。“证伪主义 科学方法论的核心思想是彻底反对归纳法而推崇演绎法。” 4 而数学是演绎法的典范。 可见，数学在经济学中具有科学方法论上的意义。 2.2 经济数学模型的意义 数学模型的内涵。数学模型是对实际问题的一种数学表述，是对于一个特定的对象 为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学 工具， 得到的一个数学结构。 数学不仅是一门理论科学， 也是一门应用广泛的应用科学， 没有数学模型的辅助分析，任何的定性分析都还有一定的不足。在国际上，数学建模的 分析结果更让人相信。实践也证明，数学模型对经济问题所作的定量分析是严谨的和慎 密的，尤其在于重要经济的时间和数量等量化问题的决策上，是非常科学的。 数学模型在经济分析中的重要性。通常，数学并不能直接对经济现象的客观情况进 行分析，而是必须通过建立数学模型，把经济现象通过数学语言进行转化，再应用数学 的处理方法进行处理，把处理结果转化为经济结论。因此，在这个分析过程中，数学经 济模型把经济领域的项用字母、数字和其他数学符号建立相应等式或不等式以及图表、 图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构，这样由定性的内容转化为 定量的内容，从量和形的侧面考察实际问题，尽可能通过抽象、简化确定出主要变量， 然后尽可能用实验的、观察的、历史的数据来检验，这就是解决实际问题的真实过程。 这就使经济决策实现科学化和定量化，当前对于决策要求越来越严谨的今天，数学建模 应用于经济活动显得越来越重要，也成为经济主体提升自身竞争力的重要渠道。如生产 厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求，根据快 速报价系统(根据厂家各种资源、 生产成本等数据进行数学经济建模) 与客户进行协商。 可见，数学模型在经济上的应用比较直观、严谨，反应迅速，具有重要的意义。 经济问题中的数学方法 第 4 页 共 36 页 3导数在经济学中的应用 随着现代科技、经济的迅速发展, 社会科学逐步向跨学科、综合性的方向发展。 在 经济领域, 随着现代企业核算制度和股份制公司的确立, 再简单运用以上函数本身不 能正确、有效地解决复杂的经济问题,这促使高等数学思想被广泛运用到经济的各个方 面。这对于解决实际经济问题, 促进社会主义市场经济的发展都有着重要意义。高等数 学的主要内容是微积分, 微分学则是微积分的重要组成部分, 而导数又是微分学中的 基本概念之一, 所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。 当一个变量随另 一个变量发生变化时，导数提供了关于这种变化的大小和方向的信息，这正好与经济领 域某些问题相吻合。 下面从高等数学的基本理论导数概念出发, 引出了经济学中的重要 的边际和弹性问题, 用数学思想方法在经济学上的运用, 以阐明高等数学处理复杂经 济问题的优越性和重要性。 3.1 导数的概念 从数量关系而言, 导数是反映函数的自变量在变化时, 相应的函数值变化的快慢 程度变化率(瞬时变化率)。即 ()( ) x xfxxf x y xx + = 00 00 limlim 因此, 函数( )xfy=在某一点 0 x的导数表达式如下：( ) 0 xf, 0 xx y = 或 0 xx dx dy = 若函数( )xfy=在某区间内每一点都可导, 则称( )xfy=在该区间内可导, 记 ( )xf为在( )xfy=该区间内的可导函数(简称导数) 5。 3.2 边际分析与弹性分析 3.2.1 边际分析 在经济学中常常会用到变化率这一基本概念, 作为变化率又可分为平均变化率和 边际量。平均变化率是函数增量与自变量之比；边际量是表示一单位的自变量的变化量 所引起的因变量的变化量。 在经济学中, 把函数( )xf的导数( )xf称为( )xf的边际函数, 经济问题中的数学方法 第 5 页 共 36 页 在点 0 x的值( )xf称为( )xf在 0 x处的边际值( 或变化率、变化速度等)。 我们现在以“边际成本”为例： 边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本，现设产品数量是连续变化 的，于是产品单位可无限细分。 若产量从x增加到xx+，由此引起的总成本增量为： ()( )xcxxcc+=比值 ()( ) x xcxxc x c + = 表示在x和xx+之间总成本的平均变化 率。 当0x时， ( ) ()( ) x xcxxc xc x + = 0 lim 为边际成本，同样可以用导数定义边际收入、边际需求、边际利润等概念。下面我 们以边际利润为例结合例题分析这一概念的实际意义。 例例1 1通过销售分析发现，总获得L元与每月产量( )tx之间有函数关系： ( ) 2 50250xxxL= 试确定每月生产( )t20，( )t30的边际利润。 解解利用边际成本定义，边际利润为总利润的导数，故有： ()501025020 20 = =x xL ()1001025035 35 = =x xL 结果显示，20=x时每增加( )t1月产量，则利润增加50元，而当35=x时，每增加( )t1 月产量，则利润减小100元。 通过上面这个实际例子，我们可以看出，当企业决策时，如果采用边际利润进行分 析，可以减少企业投资的盲目性，使企业在扩大再生产时了解投资前景，减少企业投资 损失。另外如果该企业是多种产品综合企业，通过以上这种方法计算出各种产品的边际 利润率( 边际利润与总利润之比)，而使生产投资转向边际利润相对较大的产品，这使 企业资金流向更加合理，从而提高了经济效益，不仅有利于企业本身，也有利于市场经 济。 3.2.2 弹性分析 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时，所作出反映的强弱程度。 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量。也就是说，弹性反映了一 经济问题中的数学方法 第 6 页 共 36 页 个量相对于另一个量的变化程度。 数学表达为： x y y x x x y y = = 经济学中的符号为： P Q Q P P P Q Q Ed = = Q P dP dQ P Q Q P E P d = = 0 lim 由于价格与需求反方向变化，所以 dP dQ 为负值，即有需求弹性数学式 ( ) Q P Qf Q P dP dQ P Q Q P E P d = = 0 lim 相反，供给函数为正值 ( ) Q P QgEs= 例例2 2设某商品的需求函数为 2 20 P Q=其中Q为需求量，P为价格，求需求弹性函 性数，并确定当P为何值时总收益最大，其值为多少? 解解需求弹性函数 ( ) P P PPQ P QP 280 2 20 11 = = = 当( )1=P，即 9 6400 =P 时总收益最大。 由于 2 20 2 3 P PPQR= 所以最大总收益为 经济问题中的数学方法 第 7 页 共 36 页 27 12800 9 6400 = R 通过以上分析, 如果企业进行价格调整时, 参照以上分析方法,就不会因盲目降价 促销而影响企业利润。 否则,随意调价会因产品积压或不能回收成本而使企业陷入困境, 难以在竞争中谋求发展。 3.3 导数在最值问题上的应用 在经济管理中, 企业需要寻求最小生产成本或获得最大利润的一系列价格策略。 这 些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题。 这一思想运用到经济上可以进行经济 业务最大化、 最小化分析, 通过分析来达到有效、 合理安排生产, 最大限度地取得利润, 最小限度地消耗能源与原料。 下面我们以最大利润产出水平的确定为例 企业生产的主要目的之一就是获取利润，而利润函数( )( )( )xCxRxL=被称为企业 目标函数。其中( )xR为总收入函数、( )xC为总成本函数。为了求出使利润最大的产出水 平，首先必须满足最大值的必要条件：一阶导数( )0=xL，求( )0=xL，即( )( )xCxR=。 其次还必须满足最大值的充分条件：当( )0=xL时，( )0，使得对任意的分割 bxxxxxxxaT nnii = 时，0 2 2 dt xd ； 当 ( ) 2 N tx dt xd 。 即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最畅销，当销量不 足一半时，销量速度不断增大，当销量超过一半时，销量速度逐渐减少。 研究与调查表明： 许多产品的销售曲线与逻辑斯谛曲线十分接近， 许多分析家认为， 在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80% 期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应转产。 例例2 2价格调整问题 某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数 ( )PQ，( )PS， 则在t时刻的价格( )tP对于时间 的变化率可以认为与该商品在同一时刻的 超额需求量( )( )PSPQ成正比， 即有微分方程( )( )()0=kPSPQk dt dP 。 在( )PQ和( )PS 确定情况下，可以解出价格( )tP与时间 的函数关系，这就是商品的价格调整模型。 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系，一般情况下，商品供给量S是价格P 的单调递增函数，商品需求量Q价格P的单调递减函数，为简单起见，该商品的供给函 数与需求函数分别为： ( )( )PPQbPaPS=+=,（1） 其中,ba均为常数，且0, 0b。 当供给量与需求量相等时， 由式(1)可得供求平衡时的价格 b a Pe + = 并称 e P为均衡 价格。 一般情况下，当某种商品供不应求，即QS时， 该商品价格要降。 因此， 假定t时刻的价格( )tP的变化率与超额需求量SQ 成正比，则有方程 ( )( )PSPQk dt dP = 其中0+=kb，方程(2)的通解为： ( ) t e CePtP += 假设初始价格( ) 0 0PP=，代入上式，得： e PPC= 0 ，于是上述价格的调整模型的 解为： ( )() t ee ePPPtP += 0 由于0知，+t时，( ) e PtP。说明随着时间不断推延，实际价格( )tP将逐 渐趋近均衡价格 e P。 5.2 微分方程的一般用法 我们以下例说明： 例例3 3设某商品的需求量Q对价格P的弹性为3lnP， 已知该商品的最大需求量在0=P 时，为1200=Q，求需求量对价格的函数关系。 解解根据 3.2.2 中关于弹性的定义： Q P dP dQ P=3ln 解此微分方程得通解()为常数CCeQ P3ln =。因为( )12000 0 =CCeQ，于是 P Q =31200为所求函数。 当然，经济问题中还有一阶，二阶差分方程的应用，这里不做详述。 经济问题中的数学方法 第 18 页 共 36 页 6概率统计在经济中的应用 对偶然性的认识,是一个现代人知识结构中应具备的成分. 本部分就概率论与数理 统计的方法与思想,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在现代金融理论和日常 生活中的应用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的 高效性、简捷性和实用性。 英国学者威尔斯说过： “统计的思维方法,就像读和写的能力一样,将来有一天会成 为效率公民的必备能力。” 10概率论的发展历史悠久,理论高深而清晰,应用广泛。集合 论、 函数论等学科的发展为概率论奠定了基础,同时,概率论的发展也为数理统计及其他 数学学科的发展和解决有关问题提供了行之有效的方法。 本文将就概率论与数理统计的 方法与思想,在解决代数、数学分析学科中的一些问题及在金融领域和日常生活中的应 用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简 捷性和实用性。 6.1 经济信息价格的评估角度和评估方法 6.1.1 经济信息价格评估的不同角度 由于信息资源自身的特殊性以及在实际经济生活中的特殊体现, 想从一般意义上 对经济信息价格进行评估很难。 目前国内外的学者对信息价格的评估尚未达成统一的方 法和标准。根据使用经济信息的目的不同, 评价角度不同, 经济信息价格含义不一样, 表现为不同的经济信息价格计量类型。 本部分所述经济信息价格是指在某一特定时期内 为获得该信息以取得未来收益或好处所支付的货币总额。 可以从以下几种角度对经济信 息价格进行评估分析。 一、从经济信息的成本角度经济信息价格是价值的转化形态，从经济信息的成本角 度分析评估经济信息价格，即通过研究经济信息的生产费用、传播费用、交易中获取信 息的费用等方面来研究经济信息价格。经济信息价格取决于经济信息的成本，经济信息 的原始成本越大，经济信息的原始价格就越大。 二、从经济信息自身特点角度从信息自身特点研究评估经济信息价格，根据经济信 息性质构成，通过分析评价经济信息的信息量、信息质、信息对用户适宜性、信息衰变 经济问题中的数学方法 第 19 页 共 36 页 系数等因素来考虑信息的评估价格。在单位信息量价格一定的情况下，接受方愿意支付 的信息价格就与接受方主观认定的信息量的大小成正比。 三、 从经济信息需求者角度即信息使用者角度由于决策者的行为取决于对行动后收 益的预期，信息的获得会改变这种预期，按“需要满足需要”观点，某个经济信息能 较好地满足信息使用者或决策者的需要，那么，它就自然地要求体现较大的经济信息价 格。从经济信息需求角度评估经济信息价格，关键看经济信息使用价值大小，即从应用 经济信息带来的收益来评价经济信息价格。 四、 从经济信息市场角度经济信息价格是经济信息作为商品在特定的条件下的价值 转化形态，经济信息实际出售价格的形成是在一定的市场条件下多种因素作用的结果。 经济信息价值的实现外化为经济信息在交换中的成交价格。 马克思提出的价值规律即价 值决定价格的条件实质上是指商品交换在非垄断情况下进行， 价格自发地接受价值的调 节和决定。 6.1.2 经济信息价格评估的主要方法 一、经济信息价格评估的成本法从取得、生成经济信息所耗费的成本费用角度计量 经济信息现时的重置成本来评估经济信息价格的一种方法。 经济信息可以划分为外购经 济信息和自创经济信息。外购经济信息重置成本包括买价和购置费用；自创经济信息成 本包括生成、持有期间的全部物化劳动和活劳动的费用支出，根据经济信息生成所发生 的材料、工时实际消耗量，按现行价格和费用标准进行计量，由于经济信息主要是复杂 脑力劳动的产物，是创造性的成果，一般不能原样复制，必须根据实际消耗量计量。 二、经济信息价格的模糊评价法从信息自身特点，通过研究和分析经济信息价值的 影响因素及其对信息可能的作用效果进行经济信息价格评估， 经济信息的各类相关影响 因素的属性情况决定着信息在应用中的不同方面所体现的作用程度。 由于影响经济信息 的作用效果的因素是多方面的，经济信息价格评估涉及多个因素、多个指标的评价， 其 中包括定量指标和定性指标。一方面有些定性指标难以量化，比如从信息自身特点对经 济信息评价的定性指标：信息传递的及时性、信息内容的完整性、信息内容的新颖性、 信息的科学可靠性、信息成果叙述的简明性等；另一方面，根据信息使用者或决策者对 经济信息的种类、功能和层次的不同需求，来评定指标体系中各指标的权重和影响经济 信息价格评估的相关因素的作用大小属于人的主观评价行为， 不是绝对精确的， 具有 “模 糊”性，因此可以用模糊数学方法评估经济信息价格。 经济问题中的数学方法 第 20 页 共 36 页 三、经济信息价格评估的统计决策法从经济信息使用者角度评估经济信息价格， 信 息价格应当是信息使用者获取信息后按该信息采取最优行为的效用与获得信息前采取 最优行为的效用之差。经济信息价格评估的统计决策法是运用概率统计理论，计量使用 经济信息预期能给信息使用者或决策者带来经济利益的大小来评估经济信息价格， 即以 决策者为某种经济信息愿意支付的最高限额作为该信息的评估价格。 在统计决策过程中, 经济信息价格本质上是一种依据概率统计理论对预期收益进行计算的预期价格， 分析计 量经济信息价格主要是通过计算完全信息的预期价格和不完全信息的预期价格来实现。 从不同分析评估角度和采用不同方法，对经济信息价格评估的研究，对于分析评估经济 信息价格及应用经济信息都有很多的借鉴作用。 6.1.3 贝叶斯方法 11在经济信息价格评估中的应用 从信息使用者或决策者的角度， 运用统计决策法评估经济信息的价格是一种比较有 效的方法。经济信息价格评估的统计决策法是运用概率统计理论，计量使用经济信息预 期能给信息使用者或决策者带来经济利益的大小来评估经济信息价格， 实质上是运用概 率统计理论计算信息使用者获得信息后按照该信息采取最优行为的经济收益与获得信 息前采取最优行为的经济收益之差，作为经济信息评估价格。信息作用后的预期收益的 概率分布变化可以用概率统计中的贝叶斯方法计算。应用概率统计方法计算获得信息 后，所作决策的预期收益净现值的均值与获得信息前，所作决策的预期收益净现值的均 值的差额即为经济信息的使用价值，也即作为经济信息的评估价格。 下面具体说明贝叶斯方法在经济信息价格评估中的应用。 例例 1 1假设某商业企业正在考虑引入一项有偿投资，扩大经营，这项措施适宜大量销售 商品。企业须对是否引入该项有偿投资进行决策。若市场需求量大，则引入投资扩大经 营，收益大；若市场需求量小，则引入投资扩大经营要亏损。企业可以根据前几年的销 售资料，做出是否引入投资扩大经营的决策。假设没有进一步调查市场需求量的信息， 根据前几年销售资料，决策者估计市场需求量大的概率为 0.6，市场需求量小的概率为 0.4。 假设市场年需求量大约 6000 台的概率为 0.6， 年需求量大约 4000 台的概率为 0.4。 因此设年需求量为x, 则x是随机变量， 它可能的取值是 6000、 4000,且年需求量是 6000 台的概率()6 . 06000 =xP, 年需求量是 4000 的概率()4 . 04000 =xP。 扩大经营和不扩 大经营在两种可能的需求量条件下, 年经营收益净现值及其均值如表 1。 经济问题中的数学方法 第 21 页 共 36 页 表表 6-6-1 1 年经营收益净现值及其均值年经营收益净现值及其均值 不同条件下年经营收益净现值及其均值情况 方案需求量为6000台时经营 损益净现值/万元 需求量为4000台时经营 损益净现值/万元 经营损益净 现值的均值/万元 不扩大经营200100160 扩大经营350-150150 注：其中 ()万元1604 . 01006 . 0200 1 =+=EV ()万元1504 . 01506 . 0350 2 =EV 因此没有进一步调查市场需求量的信息， 则决策者做出的选择应该是不引入该项投 资，此时经营损益净现值的均值()万元160 1= EV，我们希望通过市场调查获得有关信息 后再进一步进行决策。一般通过市场调查不能提供某一确定的市场需求量，而是提供几 种可能出现的需求量，即提供“非完全信息”(如果通过市场调查能提供准确的市场需 求量，这类信息就是“完全信息”)。 假设经过市场调查企业可能获得市场需求量是 6000 台的信息，也可能获得需求量 是 4000 台的信息。企业如果获得需求量是 6000 台的信息，但这种信息对实际需求量是 6000 台的预测仅能提供 80%的可信度，即当实际需求量是 6000 台，能调查预测出需求 量是 6000 台的概率是 0.8。 因此设调查预测出的市场需求量为y, 则y是随机变量, 它 可能取值是 6000、4000 且当实际需求量是 6000 台时调查预测出需求量是 6000 台的条 件概率是 0.8，即：()8 . 060006000=xyP，那么实际需求量是 6000 台，调查预测出 是 4000 台的条件概率是 0.2, 即：()2 . 060004000=xyP；如果企业获得需求量是 4000 台的信息，能提供 90%的可信度，即当实际需求量是 4000 台能预测出是 4000 台的 条件概率是 0.9，即：()9 . 040004000=xyP，那么实际需求量是 4000 台, 而调查预 测出是 6000 台的条件概率是 0.1, 即：()1 . 040006000=xyP。 从而, 由全概率公式： 经济问题中的数学方法 第 22 页 共 36 页 ()()()()() 52 . 0 4 . 01 . 06 . 08 . 0 4000400060006000600060006000 =+= =+=xPxyPxPxyPyP ()()()()() 48 . 0 4 . 09 . 06 . 02 . 0 4000400040006000600040004000 =+= =+=xPxyPxPxyPyP 由贝叶斯公式，可得 ()()()() ()()()()() 25. 0 4 . 01 . 06 . 02 . 0 6 . 02 . 0 400040004000600060004000 60006000400060006000 = + = =+= = xPxyPxPxyP xPxyPyxP ()75 . 0 25 . 0 140004000=yxP 设 21,V V分别表示经过市场调查获得上述信息后， 企业在不扩大经营和扩大经营情况 下的经营损益净现值，则市场调查需求量是 6000 台时，若不扩大经营，经营损益净现 值的均值为： ()()万元19208 . 0 10092 . 0 2006000 1 =+=yVE 市场调查需求量是 6000 台时, 若扩大经营, 经营损益净现值的均值为： ()()万元31008 . 0 15092 . 0 3506000 2 =yVE 所以,当调查预测需求量是 6000 台时，则应扩大经营，其经营收益净现值为 310 万 元。 当市场调查需求量是 4000 台时，若扩大经营，其经营收益损益净现值为： ()()万元2575 . 0 15025 . 0 3504000 2 =yVE 而当市场调查需求量是 4000 台时，若不扩大经营, 其经营收益损益净现值为： ()()万元12575 . 0 10025 . 0 2004000 1 =yVE 所以,当调查预测需求量是 4000 台时，则不应扩大经营，其经营收益净现值为 125 万元。 从而获得市场需求量信息后, 所作决策的预期经营收益净现值的均值为： ( )()()()() 2 .22112548 . 0 31052 . 0 4000400060006000 12 =+= =+=yVEyPyVEyPVE 而没有获取需求量信息条件下所作决策的预期收益净现值的均值为 160 万元， 这样 获取信息后所作决策提高预期收益的净现值的均值为 61.2 万元，这是决策者为获取这 经济问题中的数学方法 第 23 页 共 36 页 种信息可以支付的最高限额。因此这 61.2 万元就是在一定情况下市场调查信息的评估 价格。如果为获取这项信息所花费的成本是 12 万元, 它低于该项信息的评估价格 61.2 万元, 那么是值得的。 在经济中厂商对产品的检验和厂商的生产决策， 都要利用随机实验和期望值来制定 方案，在产品销售中要通过检测市场销量来决定生产商品的多少。 例例2 2某公司计划生产一种净化设备，该公司事先估计，该产品畅销的概率为0.5，销路 一般的概率为0.3，滞销的概率为0.2，为测其销路决定试销，若畅销，则在试销中估计 卖出7000到10000的产品概率为0.6，若销路可以，则在试销中估计卖出7000到10000的 产品概率为0.9，若滞销，则在试销中估计卖出7000到10000的产品概率为0.2，假定试 销卖出9000个产品，问该净化产品是(a)销路可以，(b)畅销，(c)销路可以或畅销的概 率各为多少？ 解解令B表示事件“试销卖出7000到10000个产品”， 1 A表示“产品畅销”， 2 A表示 “产品销路可以”， 3 A表示“产品滞销”。问题转为求和 B A P 2 和 B A P 1 。以下是有 关概率： ()()()2 . 0, 3 . 0, 5 . 0 321 =APAPAP 2 . 0, 9 . 0, 6 . 0 321 = = = A B P A B P A B P 根据贝叶斯定理得： ( )a44 . 0 61 . 0 27 . 0 2 = B A P ( )b49 . 0 61 . 0 3 . 0 1 = B A P ( )c93 . 0 49 . 0 44 . 0 2121 =+= + = B A P B A P B AA P 问题得解，从而可以根据以上数据来确定产品的生产与否。 应用贝叶斯方法评估经济信息价格是以获取信息前后所作决策的预期收益净现值 的均值提高数来确定信息价格, 既简便又合理, 可供信息使用者或决策者参考。 经济问题中的数学方法 第 24 页 共 36 页 6.2 概率统计思想在现代金融理论中的应用 现代金融理论 12是指在金融经济学中大量应用金融数学研究金融风险的防范与控 制、资本市场的运营、资本资产的结构和定价等理论取得的成果。金融数学是指以概率 统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心的数学理论。在现代金融理论中， 各种各样的金融经济学模型占据着中心地位。 现代金融理论一个更值得重视的应用领域 是解决带有随机性的问题，而解决这个问题的重要手段是随机最优控制理论。而这些理 论的基础离不开概率统计的思想。 举一例从求期权价值的二项模型来介绍其在精算方面的应用。 经验表明：证券价格一般都形成一个随机波动，即价格在每一时期发生一次变化， 而且变化只有两种可能性：上升某个百分比或下降某个百分比。此外，每个区间的变动 与上一个区间的结果是独立的。设向上运动使证券的价格升至倍，称为上升程度，而向 下运动使证券价格降低倍。下面给出经历两个时期的可能结果： () () () () 为当前的股票价格其中S; 1 1 1 1 2 2 1 + + + + up up up up KS S S KS KS KS S 若上述向上的概率为 up P，则可得到如下分布律： 表表6-6-2 2 概率分布律概率分布律 ()21 up KS+ S () 2 1 + up KS P 2 up P() upup PP12()21 up P 显然上述为一个二项分布这也是二项模型的名称的由来。 若将期数推广到期,仍记履约价格为E，对于每一个最终的结果，期权在到期时的 价格应为零和股价履约价部分中的最大值。 对于欧洲看涨期权,有如下价格公式： () () () yPPC i c EKSy t t up tn up n i t n n tn up + = + = 2 10 0 max1 1 1 对于欧洲看跌期权,有如下价格公式： 经济问题中的数学方法 第 25 页 共 36 页 () () () yPPC i c tn up KSEy t t up tn up n i t n n 2 10 0 max1 1 1 + = + = 应用上面的公式,可以先确定 up P的值，在其他值是已知的情况下，从公式中即可计 算出C的值。 这里，1 1 = n eKup,为公式中的利息强度的标准差。 易见证券的方差越大, up K 越大，反之亦然。 通常情况下 up P的值可以由下式来确定： dup d up KK K n rf P = 其中 d K为下降的程度且()()111=+ upd KK得1 1 = n eKd，rf为无风险利率。 6.3 现实生活中的概率统计思想 6.3.1 均值、方差和标准差 熟知概率知识的人都在日常生活中自觉不自觉地用过这几个量来做决策。 例如我们 出门乘车，大家常选择的交通工具是汽车、火车和飞机，其费用依次升高，但事故率则 依次减小。作出决定时价格是决定因素，但对有些消费者，还有一个重要因素要考虑的 是安全问题，其中汽车事故频发，火车比较安全，而飞机不易发生事故，这用数学语言 来描述即发生事故的均值汽车最大，火车次之，飞机最小。事故率是降低了，可比较出 现事故后的事故强度则递增了，这用数学语言来描述即发生的事故的方差增大，飞机出 现事故的概