高三数学一轮复习《函数的奇偶性与周期性》理.ppt

理数 课标版,第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 . (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. () (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. (),(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. () (4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. (),1.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex 答案 D 易知y= 与y=2x+ 是偶函数,y=x+ 是奇函数,故选D.,2.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时, f(x)=x2+ ,则f(-1)=( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 答案 A 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.,3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是 ( ) A.- B. C. D.- 答案 B 依题意知b=0,2a=-(a-1), a= ,则a+b= .,4.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= . 答案 4 解析 f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(x)=x2-4x+ax-4a,f(-x)=x2+4x-ax-4a, -4+a=4-a,a=4.,5.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x 1时, f(x)=4x,则f +f(2)= . 答案 -2 解析 f(x)是定义在R上的奇函数, f(0)=0, 又f(x)的周期为2, f(2)=0, 又f =f =-f =- =-2, f +f(2)=-2.,考点一 函数的周期性 典例1 (1)(2014安徽,14,5分)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数,且在 0,2上的解析式为f(x)= 则 f +f = . (2)(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1) 上,f(x)= 其中aR.若f =f ,则f(5a)的值是 .,考点突破,答案 (1) (2)- 解析 (1)依题意得 f =f =f =-f =- =- , f = f =f =-f =-sin =sin = ,因此, f +f =- + = .,(2)f(x)是周期为2的函数,f =f =f ,f =f = f ,又f =f ,f =f ,即- +a= ,解得a= ,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+ =- .,方法技巧 判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (2)f(x+a)= (a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (3)f(x+a)=- (a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期. 1-1 若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1, f(2)=2,则f(3)-f(4)等于 ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案 A 由f(x)是R上周期为5的奇函数,知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)= -f(1)=-1,f(3)-f(4)=-1,故选A.,1-2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)= ,当2x3 时, f(x)=x,则f(105.5)= . 答案 解析 由f(x+2)= 得 f(x+4)=f(x+2)+2= = =f(x), f(x)是以4为周期的周期函数. f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5). f(x)为偶函数,且当2x3时, f(x)=x, f(105.5)=f(2.5)= .,考点二 判断函数的奇偶性 典例2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= + ; (2)f(x)=3x-3-x; (3)f(x)= ; (4)f(x)= 解析 (1)由 得x=1, f(x)的定义域为-1,1. 又f(1)+f(-1)=0, f(1)-f(-1)=0,f(x)=f(-x). f(x)既是奇函数又是偶函数.,(2)f(x)的定义域为R, f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (3)由 得-2x2且x0, f(x)的定义域为-2,0)(0,2, f(x)= = = , f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数. (4)由题意知函数的定义域为(-,0)(0,+), 当x0,此时f(-x)=x2-x=f(x); 当x0时,-x0,此时f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.,方法技巧 判断函数奇偶性的常用方法 1.定义法,2.图象法,3.性质法 在相同定义域内, (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇奇”是偶,“奇奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶偶”是偶; (3)“奇偶”是奇,“奇偶”是奇.,2-1 下列函数: f(x)=x2-|x|+1,x-1,4; f(x)=ln ; f(x)= + (a0,且a1); f(x)= 其中是奇函数的为 .(只填序号) 答案 解析 由于f(x)=x2-|x|+1,x-1,4的定义域不是关于原点对称的区间, 因此, f(x)是非奇非偶函数.,f(x)的定义域为(-2,2),f(-x)=ln =-ln =-f(x),所以函数f(x)为奇函 数. 因为f(x)的定义域为x|xR,且x0,并且有f(-x)= + = + = + =- + =-1+ + =- =-f(x),所以f(x)为奇函 数. f(x)的定义域为R,当x0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x0时, f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时, f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x),故该函数为奇函数.,考点三 函数性质的综合应用 命题角度一 函数的单调性与奇偶性 典例3 (2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-, 0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(- ),则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 f(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增, f(x)在(0,+)上单调递减,且f(- )=f( ),原不等式可化为f(2|a-1|) f( ).故有2|a-1| ,即|a-1| ,解得 a ,故选C.,命题角度二 函数的奇偶性与周期性 典例4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是 增函数,则 ( ) A. f(-25)f(11)f(80) B. f(80)f(11)f(-25) C. f(11)f(80)f(-25) D. f(-25)f(80)f(11) 答案 D,解析 f(x)=f(x+4-4)=-f(x+4)=-f(x+8-4)=f(x+8),所以函数f(x)是以8为周 期的周期函数,则f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(3)=-f(-1)=f(1),则f(11)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数, f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数,所以f(-1)f(0)f(1),f(-25)f(80)f(11). 故选D.,命题角度三 函数的奇偶性与对称性 典例5 函数y=f(x)满足对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1) 的图象关于点(1,0)对称, f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 答案 4 解析 函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(x)是R上的奇函数, f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 故f(x)的周期为4, f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4, f(2 016)+f(2 018)=f(2 016)+f(2 016+2)=f(2 016)-f(2 016)=0, f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.,方法技巧 函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意应用函数单调性及奇偶性的定义,以 及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多为求值问题,常交替利用奇偶性及 周期性将所求函数值对应的自变量值转化到已知解析式的区间内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转 化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,3-1 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时, f(x)=2x2, 则f(7)= ( ) A.2 B.-2 C.-98 D.98 答案 B 由f(x+4)=f(x)得f(7)=f(7-8)=f(-1), 由f(x)在R上是奇函数得f(-1)=-f(1), 又当x(0,2)时, f(x)=2x2, f(1)=2,f(7)=-2. 故选B.,3-2 偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则 f(-1)= . 答案 3 解析 函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称