北京交通大学概率论与数理统计习题4答案.pdf

AJ Lin 2013.11.15 1 / 11 习题 4 答案 习题 4 答案 1. 略. 2. 设随机变量X服从几何分布，其分布律为 1 ()1,1,2, k P Xkppk 其中01p 为常数，求)(XE和)(XD. 解：设1qp，则 1 ,(1,2,) k P Xkpqk ，由 1 2 111 1 ( )() 1(1) kkk kkk x S xkxxx xx 11 2 111 1 () (1) kk kkk p E XkP Xkkpqpkq qp 211 1 23 1111 1 ( )() (1)(1) kkkk kkkk xx S xk xkxkxxkx xx 由 ， 2 32 (1)2 () (1) pqp E X qp ， 所以 2 22 22 211 ()()() pp D XE XEX ppp . 3. 设连续型随机变量X的概率密度 ,01, ( )2,12, 0, xx f xxx 其它 试求)(XE和)(XD. 解: 12 01 ()( )(2)E Xxf x dxx xdxxx dx 1 3 1 3 1 2 1 321 0 3 xxx 2 1 2 1 0 222 )2()()(dxxxxdxxdxxfxXE 6 7 4 1 3 2 4 1 2 1 431 0 4 xxx 所以 222 71 ()()()1 66 D XE XEX. 4. 设随机变量X的概率密度为 | | 1 ( )() 2 x f xex ，求)(XE,)(XD. 解: 1 () ed0 2 x E Xxx , 2e2 ed2de2e eddede 2 1 )( 0 000 2 0 2 0 222 x xxx xx x xxxx xxxxxXE 故 22 ()()( ()2D XE XE X 5. 已知随机变量X服从参数为 1 的指数分布， X eXY 2 ， 试求)(YE，)(YD，),(YXCov及 XY . AJ Lin 2013.11.15 2 / 11 解： 22 ( )()()() XX E YE XeE XE e 3 4 1 0 2 dxee xx , 222224224 224 00 35 00 ()()2()2 ()() ()()2 11 2235 35 211109 2 33545 XXXXX xxxx xx E YE XeE XXeeE XE XeE e D XEXxee dxee dx xedxedx 所以 22 29 ( )()( ) 45 D YE YE Y, 又因)()( 2X eXXEYXE 22 119 ()()2 99 X E XE Xe, 所以 7 (, )()() ( ) 9 Cov X YE XYE X E Y， 29 5 3 7 )()( ),( YDXD YXCov XY . 6. 略. 7. 设随机变量),(YX的概率密度函数为 301, 0 ( , ) 0 xxyx f x y 其它 , 求)(XE，)(YE， )(XD，)(YD， XY . 解： 11 23 000 3 ,33 4 x E Xxfxy dxdydxx dyx dx 11 3 000 33 ,3 28 x E Yyfxy dxdyxdx ydyx dx 11 2234 000 3 ,33 5 x E Xx p xy dxdydxx dyx dx 11 2224 000 1 ,3 5 x E Yy p xy dxdyxdx y dyx dx 11 24 000 33 ,3 210 x E XYxyp xy dxdyx dx ydyx dx 所以有 3333 cov, 1048160 XYE XYE X E Y 2 2 2 333 5480 D XE XE X ， 2 2 2 1319 58320 D YE YE Y ， 因此，有 , 3 cov,3 160 31957 80320 X Y XY D XD Y . 8. (1) 设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布且 1 (1,) 2 Xb，求max, EX Y与 AJ Lin 2013.11.15 3 / 11 min, EX Y. (2) 设随机变量 12 ,. n XXX相互独立且都服从区间0,1上的均匀分布，求 12 max,. n UXXX 和 12 min,. n VXXX的数学期望. 解：(1) 随机变量X和Y均服从两点分布（离散） ，设 1 max , ZX Y，则 1 Z可能取值为 0，1， 且 1 1 0max, 00,000 4 P ZPX YP XYP XP Y， 1 1max , 10,11,01,1P ZPX YP XYP XYP XY， 1111113 011011 2222224 P XP YP XP YP XP Y， 因此 1 Z的分布律为 因此 1 133 max, ()01 444 EX YE Z ， 同理设 2 min , ZX Y， 2 Z的分布律为 因此 2 311 min, ()01 444 EX YE Z . (2) 由 题 意(1,2, ) i Xin的 密 度 函 数 为 101 0 X x fx 其它 ， 分 布 函 数 为 00 ( )01 11 i X x Fxxx x i n 12nX i 1 00 FP UP X,X,XF01 11 n U x xxxxxxxx x ， 1 Z 0 1 P 1 4 3 4 2 Z 0 1 P 3 4 1 4 AJ Lin 2013.11.15 4 / 11 因此随机变量 12 max,. n UXXX的概率密度函数为 1 101 0 n n UXX nxx fxn Fxfx 其它 ， 得 1 1 0 1 n U n E Uxfx dxx nxdx n ， i n 12nX i 1 00 FP1P X,X,X11-F1 (1)01 11 n V x xVxxxxxxx x ， 因此随机变量 12 min,. n VXXX的概率密度函数为 1 1(1)01 1 0 n n VXX nxx fxnFxfx 其它 ， 得 1 1 0 1 (1) 1 n V E Vxfx dxx nxdx n . 9. 将n个球随机的放入N个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的数 学期望. 解：引入随机变量 1 1, 2, 0 i i XiN i 若第 个盒子中有球 若第 个盒子中无球 ， 每个随机变量 i X都服从两点分布，1, 2,iN， 1 N i i XX ，因此 1 N i i EXEX ， 因为每个球落入每个盒子是等可能的均为 1 N ，所以对第i个盒子，没有一个球落入这个盒子 内的概率为 1 1 N ，故，n个球都不落入这个盒子内的概率为 1 1 n N ，因此 11 0(1) , 11 (1) ,1, 2,. nn ii P XP XiN NN 1 1 (1) ,1, 2, n i EXiN N ， 12 1 1 ()()()1 (1). N n iN i EXEXE XE XE XN N 10.请看 PPT. 11.解：由10,30,10,20XUYU，得 AJ Lin 2013.11.15 5 / 11 随机变量X和Y的概率密度函数分别为 1 1030 20 0 X x fx 其它 ， 1 1020 10 0 Y y fy 其它 ， 又X和Y相互独立， 1 1030,1020 ( , )200 0 xy f x y 其它 ，则 32001200(),44001200 , ( , ) 32002000,52002000 , yxyxyyxxy Zg x y xyxxyxyxy ( , )( , ),3.67.EZE g x yE Xg x y f xy dxdy 万元 12.设(0,4),(0,4)XNYU，且X，Y相互独立，求：() ,(23 ),(23 )E XYDXYDXY. 解：()0 ,()4E XD X， 40 ( )2 2 E Y ， 2 44 ( ) 123 D Y ，0 xy ， ()0E XY , 416 (23 )(23 )4 ()9 ( )4 49 33 DXYDXYD XD Y . 13.设X与Y相互独立，()( )0,()( )1E XE YD XD Y，求 2 (2 ) E XY. 解： 22222 (2 ) (44)()4 ()4 ()E XYE XXYYE XE XYE Y 22 ()()4 () ( )4( )( )D XE XE X E YD YE Y1 004(1 0)5. 14.请看 PPT. 15.解：因X服从均匀分布，因此 2 1() ()=3=,() 2312 abba E XD X ， 解得2,4.ab 因此(2,4)XU， 其概率密度函数为 1 24 2 0 X x fx 其它 ，因此 33 12 11 13 22 X PXfx dxdx . 16.设随机变量X的概率密度为 2 21 1 ( ) xx f xe ，则EX= ，DX . 解：若随机变量服从 2 ()N，分布，则其概率密度应为 AJ Lin 2013.11.15 6 / 11 2 2 1 () 2 1 ( ) 2 x f xe 因此把所给密度函数变形为 2 2 1 (1) 1 2 2 1 ( ) 1 2 2 x f xe （） 即 1 (1,) 2 XN，因此 1 ()1 ,() 2 E XD X. 17.18. 19. 20. 略. 21. 33 1 (1),1,1, ( , )4 0, x yxyxy f x y 其他 ，证X，Y不相关，但不相互独立. 解： 11 33 11 1 ()( , )(1)0 4 E Xxf x y dxdydxxx yxy dy ( )0E Y ，()( , )0E XYxyf x y dxdy () () ( )E XYE X E YXY即，不相关. 但 1 ,11 ( )( , )2 0, X x fxf x y dy 其他 1 ,11 ( )( , )2 0, Y y fyf x y dx 其他 ( )( )( , ) XY fx fyf x y(1,1)xy， XY即，不相互独立. 22. 设随机变量(, )X Y的分布律为 X Y -2 -1 1 2 1 0 1 4 1 4 0 4 1 4 0 0 1 4 求证YX,不相关，但,X Y不相互独立. 解： 3333 ()( 1)0 10,( )( 1)0 10 8888 E XE Y , 0 8 1 110 8 1 ) 1(10 8 1 1) 1(0 8 1 ) 1() 1()(XYE 所以 cov(, )()() ( )0X YE XYE X E Y AJ Lin 2013.11.15 7 / 11 故,X Y不相关. 又 11 33 , 88 pp ， 8 1 11 p 所以 1111 ppp , 故YX,不相互独立. 23. 略。 24. 设 22 ( ,),( ,),XNYNX Y 相互独立 （1） 求 12 ,ZXY ZXY的相关系数. (其中, 是不为 0 的常数) （2） 当, 为何值时， 12 ,Z Z相互独立？ 解： （1） 12 22 222 cov(,)cov(,) cov(,)cov(,)cov(,)cov(,) ()cov(, )cov( ,)( ) () Z ZXYXY XXXYYXYY DXX YY XD Y 因为YX,相互独立，所以 22222 2 22222 1 )()()()()( )()()()()( YDXDYXDZD YDXDYXDZD 所以 22 22 21 21 )()( ),cov( 21 ZDZD ZZ ZZ . （2）对于正态分布 12 12 ,0 Z Z Z Z相互立独，即 22=0 ，得=. 25. 略 26. 略 AJ Lin 2013.11.15 8 / 11 综合题 综合题 1. 略. 2. 设连续型随机变量X的分布函数 0, 1 ()arcsin , 11 1, 1 x F Xabxx x ，求a，b，)(XE，)(XD. 解: X为连续型随机变量， )(xF为连续函数. ( 1 )( 1), 0 2 FFab , (1 )(1), 1 2 FFab ,可解得 1 2 a , 1 b . X的概率密度 其它 , 0 1, 1 1 )()( 2 x x xFxf 1 21 ()( )dd 1 x E Xxf xxx x =0， 1 02 2 1 12 2 2 d 1 2 d 1 )()(x x x x x x XEXD 令sinxt，则 2 1 dsin 2 )( 2 0 2 ttXD. 思考： 已知连续型随机变量X的分布函数为 0, ( )arcsin, 1, xa x F xABaxa a xa ,其中0a 为常数。 求: (1) 常数,A B的值；(2) 随机变量X的密度函数 fx；(3) 2 a PXa . 3. 设篮球队,A B进行比赛， 若有一队胜四场则比赛结束。 如果,A B在每场比赛中获胜的概率都为 1 2 ，求需要比赛场数的数学期望. 解： X可能取值为 4,5,6,7，按古典概型计算X取各值的概率得到X的概率分布，由此算出 ()E X. 44 111 4 228 P X , 44 11 44 11111 5 22224 P XCC, 4224 22 55 11115 6 222216 P XCC, 4334 33 66 11115 7 222216 P XCC. 115593 ()4567 84161616 E X . AJ Lin 2013.11.15 9 / 11 此题变形：甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的 概率为 0.6，乙队为 0.4，求比赛场数的数学期望。 解： 44 40.60.40.1552P X ， 1414 44 50.60.40.6 0.40.2688P XCC， 242224 55 60.60.40.60.40.2995P XCC， 343334 66 70.60.40.60.40.2765P XCC， ()4 0.15525 0.26886 0.29957 0.27655.7E X 注： 对应用题而言， 大量计算是计算概率， 这就要求掌握好以前所学过的各种计算概率方法。 4. 设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量 0, 1,2. 1, k Yk Xk Yk 求： （1）求 12 XX和的联合分布律和边缘分布律； （2）求 12 ()E XX， 12 (,)Cov XX， 12 X X . 解：随机变量Y服从参数为1的指数分布，则其概率密度函数为 ,0,0, 0,0,0,0, yy eyey fy yy 1 1 12 0 0,01,211 y P XXP YYP Ye dye ， 12 0,11,20P XXP YY 2 12 12 1 1,01,212 y P XXP YYPYe dyee 2 12 2 1,11,22= y P XXP YYP Ye dye X1 X2 0 1 X1的边缘分布律 0 1 1e 0 0 1 1e 1 12 ee 2 e 1 e X2的边缘分布律 2 1 e 2 e (2) 112212 12 ()(00)1e(01) 0(10)(1 1)E XXeeeee ， 122 1212 e ,EXEXeEX Xe 所以 21 121212 (,)e1eCov XXEX XEXEX , AJ Lin 2013.11.15 10 / 11 2122 12 e ,EXEXe 又 22 212224 111222 ee ,eeDXEXEXDXEXEX 所以 12 12 12 (,)1 1 X X Cov XX DXDXe . 5. 设随机变量X和Y分别服从参数为 3 4 和 1 2 的0 1分布且相关系数为 3 3 XY ，试求X和Y的 联合分布律. 解：由已知得随机变量X和Y的分布律分别为 且 根据0 1分 布 的 性质 3311 ,(1), 41624 EXpDXppEYDX 又 3 1 3(, ) 4 2 331 164 XY EXY Cov X YEXYEX EY DXDYDXDY ，得 1 2 EXY ， 又00 1111,1EXYP XYP XYP XYP XY ， 因此 1 1,1, 2 P XYEXY 311 1,011,1, 424 P XYP XP XY 11 0,111,10, 22 P XYP YP XY 111 0,01, 244 P XY 因此X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 1 4 1 4 1 0 1 2 X 0 1 P 1 4 3 4 Y 0 1 P 1 2 1 2 AJ Lin 2013.11.15 11 / 11 6. 设 A，B 是试验的两个事件且( )0, ( )0,P AP B并定义随机变量X和Y如下： 1, 1, A X A 发生， 不发生 1, 1,. B Y B 发