平面的基本性质与推论.ppt

平面的基本性质与推论,一平面的基本性质：,1公理1： 文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ；,图形语言：,符号语言：Al；Bl，A，B AB .,练习：,（1）,。,（2）,。,公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；,（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。,2公理2： 文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。,图形语言：,符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面，使得A，B， C.,如何理解公理2？ 公理2是确定平面的条件. 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.,3. 公理3： 文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.,图形语言：,符号语言：,Pl.,如何理解公理3？ (1) 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”. (2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.,(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.,二. 平面基本性质的推论,文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,a与A共属于平面且平面惟一 .,（1）推论1：,（2）推论2：,文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,a，b共面于平面，且是惟一的 .,（2）推论3：,文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,a，b共面于平面，且是惟一的 .,三、异面直线,从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）,1、异面直线,判断：,(1)图中直线m和l是异面直线吗?,(2) ,则a与b是异面直线吗？,(3) a,b不同在平面内,则a与b是异面吗？,异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托, 异面直线不同在任何一个平面的特点.,直线和平面位置关系的符号表示.,（1）点A在平面内，记作A，点B不在平面内，记作B ；,（2）直线l在平面内，记作l ，直线m不在平面内，记作m ；,（3）平面与平面相交于直线l，记作=l；,（4）直线l和m相交于点A，记作lm=A,简记为lm=A.,例1如图，平面ABEF记作，平面ABCD记作，根据图形填写： （1）A，B ，E ， C ，D ； （2）A，B ，C ， D ，E ，F ； （3）= ；,AB,例2如图中ABC，若AB、BC 在平面内，判断AC 是否在平面内？,解： AB在平面内， A点一定在平面内，又BC在平面内， C点一定在平面内， ( 点A、点C都在平面内，) 直线AC 在平面内（公理1）.,例3（1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确定几个平面？,4个,3个,1个或3个,例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.,解：在平面AA1D1D 内，延长D1F， D1F与DA不平行，因此D1F与DA 必相交于一点，设为P，,又D1F 平面BED1F，P在平面BED1F内.,则PD1F，PDA ，,AD 平面ABCD，P平面ABCD，,又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， 连结PB，PB 即为平面BED1F 与平面ABCD的交线.,例5. 如图所示，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.,证明：由已知AB的延长线交平面于点P，根据公理3，平面ABC与平面必