2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算分层演练理（含解析）新人教A版.docx

第6讲 空间向量及其运算1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则等于()A.(bca) B.(abc)C.(abc) D.(cab)解析：选D.(cab)2已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A.B9C.D.解析：选D.由题意知存在实数x，y使得cxayb，即(7，5，)x(2，1，3)y(1，4，2)，由此得方程组解得x，y，所以.3已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，O为坐标原点，与的夹角为120，则的值为()AB.CD解析：选C.(1，)，cos 120，得.经检验不合题意，舍去，所以.4已知四边形ABCD满足：0，0，0，0，则该四边形为()A平行四边形B梯形C长方形D空间四边形解析：选D.由0，0，0，0，知该四边形一定不是平面图形5(2019唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为()A.aB.aC.aD.a解析：选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且，所以(xa，y，z)(x，ay，az)，所以xa，y，z.所以M，所以|a.6已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且a，b，c，用a、b、c表示向量_解析：如图所示，()()()(2)()(bca)答案：(bca)7.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_解析：设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，所以，所以cos，0.答案：08已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：因为0，0，所以ABAP，ADAP，则正确又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则正确因为(2，3，4)，(1，2，1)，所以与不平行，故错答案：9已知a(1，3，2)，b(2，1，1)，点A(3，1，4)，B(2，2，2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1，4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.所以3t，1t，42t，因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为(，)10已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解：(1)由题意可得：(2，1，3)，(1，3，2)，所以cos，.所以sin，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S2|sin，147.(2)设a(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1，1，1)或(1，1，1)1如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1，1，1) B.C. D.解析：选C.设M点的坐标为(x，y，1)，因为ACBDO，所以O，又E(0，0，1)，A(，0)，所以，(x，y，1)，因为AM平面BDE，所以，所以所以M点的坐标为.2已知ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确命题的序号是_解析：中()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0，故也不正确答案：3.如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明：因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1平面BAC.又因为ABAC，BCAB，所以CAB90，即CAAB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)(1)(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，则即即取y1，则n(0，1，0)所以2n，即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1，1)所以m012(1)210，所以m，又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.4.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高