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黑龙江省哈尔滨市呼兰一中、阿城二中、宾县三中、尚志五中四校2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数等于 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】2i.故选D.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，复数常考的还有几何意义，zabi(a，bR)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作2.曲线在点处切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果.【详解】由可得，所以，所以曲线在点处的切线方程为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.3.函数的单调递增区间是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，求解不等式即可确定函数的单调递增区间.【详解】由函数的解析式可得：,求解不等式可得：，故函数的单调递增区间是.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.计算的结果为（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案.【详解】，故选C.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.5.用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，不等式左边的变化情况为（ ）A. 增加B. 增加 C. 增加，减少D. 增加，减少【答案】C【解析】【分析】首先观察不等式左边的各项，它们以开始，到结束，共项，当由到时，项数也由项变到项，前边少了一项，后面多了两项，分析四个选项，即可得出结果.【详解】当时，左边，当时，左边，故选C.【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，涉及到的知识点有应用数学归纳法证明问题时，将向推导过程中，式子的变化情况，属于易错题目.6.若是虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由已知，.故选B.考点： 1、复数的运算；2、复数的摸的求法.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题8.设函数在上可导，导函数为图像如图所示，则 ( )A. 有极大值，极小值B. 有极大值，极小值C. 有极大值，极小值D. 有极大值，极小值【答案】C【解析】【分析】通过图象判断导函数的正负情况对应的的范围，利用导数符号与单调性的关系及函数极值的定义可得结论.详解】当时，当时，由图可知：当时，函数是减函数，当时，函数是增函数，当时，函数是增函数，当时，函数是减函数，并且有当或时，有，所以是函数的极小值点，2是函数的极大值点，所以有极大值，极小值，故选C.【点睛】该题考查的是有关根据图象判断函数的极大值与极小值的问题，涉及到的知识点有函数的极值与导数的关系，属于简单题目.9.若展开式中只有第6项的系数最大，则常数项是（ ）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】由条件求得，在其展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，可得常数项，求得结果.【详解】若展开式中只有第6项的系数最大，则，它的展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项是第6项，故选B.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中二项式系数最大项，二项展开式的通项，属于简单题目.10.从人中选派人承担甲，乙，丙三项工作，每项工作至少有一人承担，则不同的选派方法的个数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先从6人中选派4人，再将选取的4人分成三组，分别从事甲、乙、丙三项工作，进而可得不同的选派方法的种数.【详解】先从6人中选派4人，共有种方法，再将选取的4个人分成三组共有种方法，再将三组分配从事甲、乙、丙三项工作共有种方法，所以不同的选派方法共有种，故选B.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，对应的解题思路是先选后排，属于中档题目.11.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件推导出，令利用导数性质求出时，取得最小值4，由此能求出实数的取值范围.【详解】因为对恒成立，所以，令，则，所以当时，函数单调减，当时，函数单调增，所以当时，所以实数的取值范围是，故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有恒成立问题向最值靠拢，利用导数研究函数的最值，属于简单题目.12.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为偶函数，所以在上的解集为：.故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在上极值为_。【答案】【解析】【分析】该题的函数是三次多项式函数，因此可以用导数工具求它的极值，求出其导函数，得到其在上的零点，再讨论导函数在相应区间上的正负，得到函数的单调区间，进而求得其极值.【详解】，令，得，在区间上讨论：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，所以函数在上的极值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求函数在给定区间上的极值的问题，涉及到到的知识点有应用导数研究函数的极值，属于简单题目.14.观察下列不等式：（1）（2）（3）照此规律，第五个不等式为_。【答案】【解析】【分析】由已知中不等式，分析不等式两边的变化规律，可得答案.【详解】由已知中，不等式：，归纳可得：第个不等式为：，当时，第五个不等式：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，需要认真观察各个式子之间的关系，从而得到规律，将第个式子写出，再将对应的的值代入求得结果，属于简单题目.15.由曲线，直线，直线围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】试题分析：先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可解：由方程组解得，x=1，y=2故A（1，2）如图，故所求图形的面积为S=11（2x2）dx11（4x2）dx=（4）=故答案为：考点：定积分在求面积中的应用16.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三解答题 （共六道大题，满分70分）17.实数m取怎样的值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）或；（2）且；（3）或【解析】【分析】（1）由虚部等于0列式求解的值；（2）由虚部不等于0列式求解的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解的值.【详解】（1）当，即或时，的虚部等于0，所以当或时，为实数；（2）当时，即且时，为虚数；（3）当时，即或时，为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.18.有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数（1）甲只能在中间或者两边位置；（2）男生必须排在一起；（3）男女各不相邻；（4）甲乙两人中间必须有3人.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）利用元素分析法（特殊元素优先安排），甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，问题得以解决；（2）利用捆绑法，先将男生捆绑在一起算一个大元素，与女生进行全排，在将男生内部全排得到结果；（3）男女各不相邻，先排四名女生，之后将3名男生插在四个空中，正好得到所要的结果；（4）从除甲、乙之外的5人中选3人排在甲、乙中间，之后再排，问题得以解决.【详解】（1）甲为特殊元素，所以先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有种选择，其余6人全排列，有种排法，由分步计数原理得共有种；（2）捆绑法，先将男生排在一起，和四名女生合在一起，有种排法，再将三名男生内部排列，有种排法，由分步计数原理得共有种；（3）男女各不相邻，即为女生排好后男生插入中间的三个空即可，所以有种；（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种排法，甲、乙两人有种排法，甲、乙以及中间的三人与其余2人共有种排法，由分步计数原理得共有种.【点睛】该题考查的是有关具有特殊要求的排列问题，在解题的过程中，注意处理原则和解题方法为：特殊元素优先考虑，不邻问题插空法，相邻问题捆绑法等，属于简单题目.19.已知：(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项.【答案】(1)1，(2)【解析】由题意知，第五项系数为，第三项的系数，则有，解。（1）令得各项系数的和为。（2）通项公式，令，则，故展开式中含的项为。20.若函数，当时，函数有极值。（1）求函数的解析式；（2）若关于方程有三个不等实根，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过有三个不等的实数解，求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，由时，函数有极值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，有极大值；当时，有极小值，因为关于的方程有三个不等实根，所以函数的图象与直线有三个交点，则的取值范围是【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.21.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元。【解析】解：（）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（），令，即.解得，（舍去）.当时，当时，故是的最小值点，对应的最小值为。当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元。22.已知函数（1）若，求函数的极值；（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.【答案】(1) 函数的极大值为函数的极小值为 (2) 【解析】试题分析：求出的函数的导数，求出单调增区间和减区间，