5-4_用频率特性分析控制系统的稳定性

1,第5章 频域分析法,5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性 5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 5.6 闭环系统频率特性 5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系,2,5.4 用频率特性分析系统稳定性,1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量,3,1 控制系统的稳定判据,闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。 一阶系统 特征方程式: 特征根: 令 则矢量,4,1 控制系统的稳定判据,特征根是一个负实根 当 由0增加到时 特征根是一个正实根 图5.31 一个负实根 当 由0增加到时 结论：一阶系统是稳定的， 则 由0时， 矢量 将逆时针方向旋转/2。 图5.32 一个正实根,5,1 控制系统的稳定判据,二阶系统 特征方程式: 特征根: 矢量,6,1 控制系统的稳定判据,特征根在左半平面 当 由0增加到时 ， 特征根在右半平面 图5.33 共轭复数根在左半平面 当 由0增加到时 图5.33 共轭复数根在由半平面,7,1 控制系统的稳定判据,阶系统 特征方程式: 矢量 (1) 如果 个根都在复平面的左半平面 当 由0增加到时，,8,1 控制系统的稳定判据,(2) 如果一个根在右半平面， 个根在左半平面 当 由0增加到时， 系统稳定的条件转化为：当 由0时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。 当 由 变到 时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。,9,2 应用幅相特性判断系统稳定性,闭环系统如图示 开环传递函数 图5.35 闭环系统 闭环传递函数 闭环系统的特征多项式,10,2 应用幅相特性判断系统稳定性,辅助函数 辅助函数 有如下特征： 1）其零点为闭环传递函数的极点； 2）其极点为开环传递函数的极点； 3）其零点和极点的个数是相同的； 4） 和开环传递函数 只差常数1。 控制系统稳定的充要条件变为： 辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。,11,2 应用幅相特性判断系统稳定性,分3种情况讨论 (1)开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的 个根应都在S左半平面，而当 由 到 时，矢量 的相角变化量为 如果系统闭环也是稳定的，那么闭环特征方程式 的 个根也应都在S左半平面。当 由 到 时，矢量 的相角变化量为 矢量 的相角变化为,12,2 应用幅相特性判断系统稳定性,图5.36 的相角变化 (a) 系统稳定 (b)系统不稳定 奈奎斯特（Nyquist） 稳定判据(奈氏稳定判据) 当 由 到 时，矢量 的相角 变化量为0，则开环稳定的系统，闭环后也是稳的。,13,2 应用幅相特性判断系统稳定性,因为 和 两个矢量 之间只相差常数1，如果 把 平面坐标原点右 移1个单位，那么这同一 曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。 图5.37 和 曲线,14,2 应用幅相特性判断系统稳定性,推论 1：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件： 当 由 变到 时，开环频率特性在复数 平面的轨迹 不包围 这一点。,15,2 应用幅相特性判断系统稳定性,(2)开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的，那么它的特征方程式有 个 根在S右半平面， 个根在S左半平面，则开环系统是不稳 定的。当 由 变到 时，矢量 的相角变化量为 若闭环系统的特征方程式的 个根中，有 个根在S右半 平面， 个根在S左半平面，则 由 变到 时，矢量 的相角变化量为,16,2 应用幅相特性判断系统稳定性,矢量 的相角变化量为 式中 代表矢量 的相角变化圈数。 即：矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈；或用 的轨迹说明，开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。,17,2 应用幅相特性判断系统稳定性,推论 2：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是不稳定的，开环特征方程式有 个根在 S右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是： 由 变到 时，开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围 绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。 实际应用判据 若开环传递函数在S右半平面上有 个极点，则当 由 0 变到 +，如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆 时针围绕 点转 圈，则闭环系统是稳定的；否则是 不稳定的。,18,2 应用幅相特性判断系统稳定性,例5.4 一个闭环系统如图示， 其开环传递函数为 这是一个不稳定的惯性环节， 开环特征方程式在右半平面有一个 根 。闭环传递函数为 由于 ，闭环特征方程式的根在 S左半平面，所以闭环是稳定的。 开环频率特性如图，当 由 图5.38 例5.4的稳定判定 变到 时， 矢量逆时针围绕 点转一圈。 即 ，故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。,19,2 应用幅相特性判断系统稳定性,(3)开环系统有积分环节的情况 系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点） 例如开环系统传递函数为 其频率特性 开环频率特性在 处轨迹不连续， 可作如下处理： 令 ，当 由 变到 时， 角变化为 图5.39 坐标原点有极点的处理,20,2 应用幅相特性判断系统稳定性,所以在 由 时，幅相频率特性以为半径，相 角由0度旋转到 ，如图5.40(a)所示。 如果在原点处有重根 为重根数目。 在 由 时，幅相特性以为 半径，转过 ，得到了连 续变化的轨迹，如图5.40虚线所示。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (a) 有一个积分环节,21,2 应用幅相特性判断系统稳定性,用奈氏稳定判据很容易判断出图5.40(a)、(b)、(c) 中的轨迹都不包围 点，所以闭环系统是稳定的。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (b) 有二个积分环节 (c) 有三个积分环节,22,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性 正穿越： 在区间 由上向下穿越负实轴，以 表示。 负穿越： 在区间 由下向上穿越负实轴，以 表示。 图5.41 用对数频率特性判断系统稳定性 (a) 幅相频率特性 (b)对应的对数频率特性,23,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,注意： 如果 逆时针方向包围 点，则一定存在正穿越， 即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。 如果 顺时针方向包围 点，则一定存在负穿越， 即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。 奈氏稳定判据用正负穿越表述如下： 如果系统开环传递函数的极点全部位于S左半平面，当 由0变到+时， 在复平面上正穿越与负穿越次数之差等 于零，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，当 由0 变到+时， 在复平面上正穿越和负穿越之差为 ， 则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。,24,幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,25,3 应用对数频率特性判断系统稳定性,奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在S左半平面，即 ，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为0时，闭环系统是稳定的；否 则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，则 在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越 与负穿越次数之差为 时，闭环系统是稳定的；否则闭 环系统是不稳定的。,26,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.5 系统开环传递函数为 其极点全部位于S左半平面， 。 （1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性 如图5.42（a）。 由于 不包围 点， 所以不论 值多大，闭环系统 均是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定,27,4 奈氏稳定判据应用举例,（2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性 如图5.42（b）。 由于在 dB的频段内， 二阶系统对数相频特性不会穿越 线，即对数相频特性与 线 正穿越和负穿越次数之差总为0， 所以不论 值多大，闭环系统均 是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定,28,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.6 系统开环传递函数为 没有极点位于位于S右半平面， 。 （1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式 其中 在 时， 在 时， 。,29,4 奈氏稳定判据应用举例,绘出系统开环幅相频率特性如图5.43（a）。由图看出， 值较大时，当 由-变到+时， 顺时针包围 两 圈， 。故 表明闭环系统在S右半平面有两个 极点，系统是不稳定的。 如果减小 值，则当 ， ，系统达到稳定边界。 当 时， ，闭环 图5.43 例5.6的稳定判定 系统是稳定的。,30,4 奈氏稳定判据应用举例,（2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.43（b）。 值较大时，在 dB 的频段内，对数相频特性负穿 越 线1次，闭环系统不稳定。 如果减小 值，对数幅频 特性 下移，幅值穿越频率 左移减小，使在 dB的 频段内，对数相频特性不穿越 线，则闭环系统稳定。 图5.43 例5.6的稳定判定,31,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.7 系统开环传递函数为 没有极点位于位于S右半平面， 。 应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为 其中 相频特性为,32,4 奈氏稳定判据应用举例,分几种情况讨论 （1） 幅相频率特性如图5.44(a)示。 当 由-变到+时， 顺时针包围 点两圈： 即闭环传递函数有两个极点位于 S右半平面，闭环系统不稳定。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,33,4 奈氏稳定判据应用举例,（2） 幅相频率特性如图5.44(b)示。 当 由-变到+时， 不包围 点： 闭环系统稳定。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,34,4 奈氏稳定判据应用举例,（3） 幅相频率特性如图5.44(c)示。 当 由-变到+时， 正好通过 点。 闭环系统处于临界稳 定状态。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图,35,4 奈氏稳定判据应用举例,例5.8 系统开环传递函数为 在S右半平面有一个极点， 。 系统开环频率特性为 其中 相频特性为 当 时， ， 当 时， 当 时，,36,4 奈氏稳定判据应用举例,幅相频率特性绘于图5.45。 当 时