2020版高考数学第八章平面解析几何第七节抛物线学案文（含解析）新人教A版.docx

第七节抛物线2019考纲考题考情1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。2抛物线的标准方程与几何性质注：抛物线上P点坐标为(x0，y0)。抛物线焦点弦的4个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2。(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)。(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。一、走进教材1(选修11P63练习T1改编)过点P(2,3)的抛物线的标准方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析设抛物线的标准方程为y2kx或x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y。故选A。答案A2(选修11P64A组T3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个 B1个C2个 D4个解析设P(x1，y1)，则|PF|x125，y8x1，所以x13，y12。故满足条件的点P有两个。故选C。答案C二、走近高考3(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴。若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_。解析由题意知，直线l的方程为x1且a0，对于y24ax，当x1时，y2，由于l被抛物线y24ax截得的线段长为4，所以44，所以a1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)。答案(1,0)4(2017天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l。已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A。若FAC120，则圆的方程为_。解析由抛物线的方程可知F(1,0)，准线方程为x1，设点C(1，t)，t0，则圆C的方程为(x1)2(yt)21，因为FAC120，CAy轴，所以OAF30，在AOF中，OF1，所以OA，即t，故圆C的方程为(x1)2(y)21。答案(x1)2(y)21三、走出误区微提醒：忽视p的几何意义；忽视k0的讨论；易忽视焦点的位置出现错误。5已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22xBy22xCy24xDy24x解析由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)。设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x。故选D。答案D6设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_。解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，l与抛物线有公共点；当k0时，64(1k2)0得1k0或00)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10。答案(1)A(2)10考点二抛物线的标准方程【例2】如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29xBy26xCy23xDy2x解析如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由抛物线定义得|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，因为|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以33a6，从而得a1，|FC|3a3，所以p|FG|FC|，因此抛物线的方程为y23x，故选C。答案C求抛物线的标准方程应注意以下几点1当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种。2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系。3要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。【变式训练】(1)(2019湖北联考)已知抛物线y22px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay24xBy24xCy28xDy28x(2)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是()Ax216yBx28yCx2yDx2y解析(1)因为ABx轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|2p，所以SCAB2p24，解得p4或12(舍)，所以抛物线方程为y28x，所以直线AB的方程为x2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y28x。故选D。(2)因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2。因为双曲线的渐近线方程为bxay0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以2，解得p8，所以抛物线C2的方程是x216y。答案(1)D(2)A考点三抛物线的几何性质【例3】(2019山西八校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，点N在x轴上且在点F的右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135，O为坐标原点，则直线OM的斜率为()A22 B21C1 D34解析设点M(m0)，因为点M在FN的垂直平分线上且点N在焦点F的右侧，所以N，又MN的倾斜角为135，所以kMN1，解得m(1)p，所以点M，所以直线OM的斜率为22。故选A。解析：如图，设直线L为抛物线的准线，过点M向准线引垂线，垂足为A，交y轴于点B，设|MF|t，因为点M在FN的垂直平分线上，且直线MN的倾斜角为135，所以直线MF的倾斜角为45，由抛物线的定义得t|MA|pt，即t(2)p，所以|OB|t(1)p，|BM|t，设直线OM的倾斜角为，则OMB，所以直线OM的斜率为tan22。故选A。答案A解析几何的核心思想是数形结合思想，如本题中：点在抛物线上即点的坐标满足方程，直线的斜率是倾斜角的正切值，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。【变式训练】如图，抛物线W：y24x与圆C：(x1)2y225交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC的周长的取值范围是()A(10,12) B(12,14)C(10,14) D(9,11)解析由题意得，抛物线W的准线l：x1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|QC|xQ1，圆(x1)2y225的圆心为(1,0)，半径为5，故PQC的周长为|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP。联立，得得A(4,4)，则xP(4,6)，故6xP(10,12)，故PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。解析：平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|5可知PQC的周长趋于2510；当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半径为5可知PQC的周长趋于2(15)12。综上，PQC的周长的取值范围是(10,12)。故选A。答案A考点四直线与抛物线的位置关系【例4】(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8。(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)。设A(x1，y1)，B(x2，y2)。由得k2x2(2k24)xk20。16k2160，故x1x2。所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)。由题设知8，解得k1(舍去)，k1。因此l的方程为yx1。(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5。设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144。(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2|p(或|AB|y1y2|p)，若不过焦点，则必须使用一般的弦长公式；(2)求圆的方程主要是确定圆心坐标与半径；(3)涉及直线与圆相交所得弦长问题通常是利用公式L2来求解，其中R为圆的半径，d为圆心到直线的距离。【变式训练】(2019潍坊市统一考试)已知抛物线y24x与直线2xy30相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则的值为()ABCD解析设A，B，易知y1y20，则k1，k2，所以，将x代入y24x，得y22y60，所以y1y22，。故选D。答案D1(配合例1使用)设抛物线y22x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|4|BF|的最小值为_。解析易知抛物线y22x的焦点为F。当ABx轴时，|AF|4|BF|145；当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为yk，代入抛物线方程得4k2x2(4k28)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2，所以|AF|4|BF|x14x14x22，当且仅当x14x21，即x11，x2时，|AF|4|BF|取得最小值。答案2(配合例2使用)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于点N。若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为()Ay2xBy22x Cy24xDy28x解析由题意，得F，直线AB的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立yx和y22px得，y22pyp20，则y1y22p，所以y0p。故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0，即M，因为MCAB，所以kABkMC1，故kMC1，从而直线MC的方程为yxp，令y0，得xp，故C，四边形CMNF是梯形，则S四边形CMNF(|MN|CF|)|NO|pp27，所以p24，又p0，所以p2，故抛物线E的方程为y24x。故选C。答案C3(配合例3使用)已知直线y