2019届高考数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件理北师大版20180510489.ppt

6.2 等差数列及其前n项和,第六章 数 列,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.等差数列的定义 ，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是 . 3.等差中项 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.,知识梳理,从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数,公差,d,ana1(n1)d,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则 . (3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列. (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为 的等差数列. (6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.,(nm)d,akalaman,2d,md,5.等差数列的前n项和公式,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系,数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).,7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值.,大,小,设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn 或Sn .,等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法：2an1anan2 (nN)an是等差数列. (3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.( ) (5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2. ( ) (6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于 A.31 B.32 C.33 D.34,答案,解析,1,2,3,4,5,6,3.在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8 .,答案,1,2,3,4,5,6,180,解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450， a590，a2a82a5180.,解析,题组三 易错自纠 4.一个等差数列的首项为 ，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是,答案,1,2,3,4,5,6,解析,5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n 时，an的前n项和最大.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 因为数列an是等差数列，且a7a8a93a80， 所以a80.又a7a10a8a90， 所以a90.故当n8时，其前n项和最大.,8,6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过 秒落到地面.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列. 所以4.90t (t1)9.801 960， 即4.90t21 960，解得t20.,20,题型分类 深度剖析,解析,答案,题型一 等差数列基本量的运算,自主演练,解析 设an的公差为d，,1.(2017全国)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8,解得d4.故选C.,解析,答案,a100a1090d98，故选C.,2.(2016全国)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于 A.100 B.99 C.98 D.97,等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.,(1)求证：数列bn是等差数列；,题型二 等差数列的判定与证明,师生共研,证明,解答,(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.,所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.,本例中，若将条件变为a1 ，nan1(n1)ann(n1)，试求数列an的通项公式.,解答,等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数. (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2. (3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列. (4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列.,跟踪训练 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1 . (1)求证： 是等差数列；,证明,证明 当n2时，由an2SnSn10，,(2)求数列an的通项公式.,解答,当n2时，,命题点1 等差数列项的性质 典例 已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6 .,题型三 等差数列性质的应用,多维探究,21,解析 因为an，bn都是等差数列， 所以2a3a1a5，2b8b10b6， 所以2(a3b8)(a1b10)(a5b6)， 即2159(a5b6)， 解得a5b621.,解析,答案,命题点2 等差数列前n项和的性质 典例 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27,解析 由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)， 得到S9S62S63S345，故选B.,解析,答案,6 054,S2 01832 0186 054.,解析,答案,等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq. (2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 S2nn(a1a2n)n(anan1)； S2n1(2n1)an.,跟踪训练 (1)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于 A.58 B.88 C.143 D.176,答案,解析,答案,解析,等差数列的前n项和及其最值,高频小考点,公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.,考点分析,典例1 (1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前10项的和S10等于 A.45 B.60 C.75 D.90,解析,答案,解析 由题意得a3a89，,(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110 .,解析,答案,110,解析 方法一 设数列an的首项为a1，公差为d，,所以a11a1002，,典例2 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.,规范解答,规范解答,解 a120，S10S15，,得a130. 即当n12时，an0，当n14时，an0. 当n12或n13时，Sn取得最大值，,nN，当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130. 方法三 由S10S15，得a11a12a13a14a150. 5a130，即a130. 当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.,课时作业,1.(2018济南质检)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于 A.1 B.0 C.1 D.6,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析 因为数列是等差数列，a24,2a4a2a64，所以a60，故选B.,2.(2018日照模拟)由公差为d的等差数列a1，a2，a3，组成的新数列a1a4，a2a5，a3a6，是 A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设新数列a1a4，a2a5，a3a6，的第n项是bn， 则bnanan32a1(n1)d(n2)d2a1(2n1)d， bn1bn2d， 新数列是以2d为公差的等差数列，故选B.,3.(2017宁德一模)若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，且a23a46，则S9等于 A.54 B.50 C.27 D.25,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 数列an为等差数列，设公差为d，则a4a22d， a23(a22d)6，2a26d60，a23d3，即a53，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2017河南百校联盟模拟)等差数列an中，Sn是其前n项和，a19， 2，则S10等于 A.0 B.9 C.10 D.10,5.(2017唐山统考)等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8等于 A.18 B.12 C.9 D.6,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6，故选D.,6.(2017湖南省湘中名校联考)若an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170成立的最大正整数n是 A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 033,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，a2 0170，,所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4 032，故选C.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2017安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是 .,24,解析 因为a4和a2 016是3x212x40的两根，所以a4a2 0164. 又a4，a1 010，a2 016成等差数列，所以2a1 010a4a2 016， 即a1 0102，所以,8.等差数列an中的a4，a2 016是3x212x40的两根，则 a1 010 .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2017郑州模拟)张丘建算经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织 尺布.,21,10.设数列an的通项公式为an2n10(nN)，则|a1|a2|a15| .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,130,解析 由an2n10(nN)知an是以8为首项，2为公差的等差数列， 又由an2n100，得n5， 当n5时，an0，当n5时，an0， |a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2016全国)等差数列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通项公式；,解 设数列an的首项为a1，公差为d，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以数列bn的前10项和为1322334224.,12.(2018贵州质检)已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn n4(nN). (1)求证：数列an为等差数列；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得a13(a11舍去).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此an1an1或an1an1. 若an1an1，则anan11.而a13， 所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾， 所以an1an1，即anan11， 因此数列an是首项为3，公差为1的等