2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.3函数的奇偶性与周期性课件理北师大版20180510431.ppt

2.3 函数的奇偶性与周期性,第二章 函数概念与基本初等函数,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.奇函数、偶函数的概念 图像关于 对称的函数叫作奇函数. 图像关于 对称的函数叫作偶函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称. (2)考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)： 若f(x) ，则f(x)为奇函数； 若f(x) ，则f(x)为偶函数；,知识梳理,y轴,原点,f(x),f(x),若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数. 3.周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫作f(x)的最小正周期.,f(xT)f(x),最小,最小正数,1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.( ) (2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.( ) (3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数.( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( ) (5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.,答案,2,解析 f(1)122，又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2.,1,解析,1,2,3,4,5,6,4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集为_.,解析 由图像可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0， 又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0. 综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5.,解析,1,2,3,4,5,6,答案,(2,0)(2,5,解析 依题意得f(x)f(x)，b0，又a12a，,解析,1,2,3,4,5,6,答案,题组三 易错自纠 5.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是,6.偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.,解析,1,2,3,4,5,6,3,答案,解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1). 又f(x)的图像关于直线x2对称， f(1)f(3).f(1)3.,题型分类 深度剖析,典例 判断下列函数的奇偶性：,题型一 判断函数的奇偶性,师生共研,解答,f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,解答,函数f(x)为奇函数.,解答,解 显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)， 函数f(x)为奇函数.,判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A.yxsin 2x B.yx2cos x C.y2x D.yx2sin x,解析,答案,解析 对于A，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数； 对于B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；,对于D，yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数， 故选D.,(2)函数f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则函数F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性是 A.F(x)是奇函数，G(x)是奇函数 B.F(x)是偶函数，G(x)是奇函数 C.F(x)是偶函数，G(x)是偶函数 D.F(x)是奇函数，G(x)是偶函数,解析 F(x)，G(x)定义域均为(2,2)， 由已知F(x)f(x)g(x) loga(2x)loga(2x)F(x)， G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)， F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.,解析,答案,解析,答案,题型二 函数的周期性及其应用,自主演练,1.(2017西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为 A.2 B.1 C.1 D.2,解析 f(x1)为偶函数， f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)， 又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0. 从而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为4. f(4)f(5)f(0)f(1)022.,2.(2017山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.,解析 f(x4)f(x2)， f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)， f(x)是周期为6的周期函数， f(919)f(15361)f(1). 又f(x)是定义在R上的偶函数， f(1)f(1)6，即f(919)6.,解析,答案,6,3.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.,解析,答案,339,解析 f(x6)f(x)，周期T6. 当3x1时，f(x)(x2)2； 当1x3时，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，f(5)f(1)1， f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(6)1， f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016) 1 336. 又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2， f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.,函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.,题型三 函数性质的综合应用,多维探究,命题点1 求函数值或函数解析式 典例 (1)(2017全国)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.,解析 方法一 令x0，则x0. f(x)2x3x2. 函数f(x)是定义在R上的奇函数， f(x)f(x). f(x)2x3x2(x0). f(2)2232212. 方法二 f(2)f(2)2(2)3(2)212.,12,答案,解析,(2)(2016全国改编)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则 f(x)_.,解析 当x0时，x0， f(x)f(x)ex1x，,解析,答案,命题点2 求参数问题,典例 (1)若函数f(x)xln(x )为偶函数，则a_.,解析 f(x)f(x)，,1,答案,解析,ln a0，a1.,解析,10,答案,解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，,即3a2b2. ,即b2a. 由得a2，b4，从而a3b10.,命题点3 利用函数的性质解不等式,典例 (1)(2017安阳模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0时， g(x)ln(1x)，函数f(x) 若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是 A.(，1)(2，) B.(，2)(1，) C.(1,2) D.(2,1),解析,答案,解析 g(x)是奇函数， x0时，g(x)g(x)ln(1x)， 易知f(x)在R上是增函数， 由f(2x2)f(x)，可得2x2x， 即x2x20，2x1.,解析,答案,解析 f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， f(5)f(56)f(1)f(1)，,解得1a4，故选A.,(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： f(x)为偶函数f(x)f(|x|). 若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.,解析,答案,解析 因为f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称，,几何画板展示,(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则 A.f(25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(25) C.f(11)f(80)f(25) D.f(25)f(80)f(11),解析,答案,解析 因为f(x)满足f(x4)f(x)， 所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)， 得f(11)f(3)f(1)f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间2,2上是增函数， 所以f(1)f(0)f(1). 所以f(25)f(80)f(11).,函数的性质,高频小考点,函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.,考点分析,一、函数性质的判断 典例1 (1)(2017北京)已知函数f(x)3x 则f(x) A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数,解析,答案,解析 函数f(x)的定义域为R，,函数f(x)是奇函数.,又y3x在R上是增函数，,(2)(2017荆州模拟)下列函数： ysin3x3sin x；,解析,答案,其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4,解析 易知中函数在(0,1)上为增函数；中函数不是奇函数；满足条件的函数为.,(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x).现有以下三个命题： 8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图像关于直线x2对称；f(x)是偶函数. 其中正确命题的序号是_.,解析,答案,解析 由f(x)f(x2)0可得 f(x4)f(x2)f(x)， 函数f(x)的周期是4，对；由f(4x)f(x)， 可得f(2x)f(2x)，f(x)的图像关于直线x2对称，对； f(4x)f(x)且f(4x)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数，对.,二、函数性质的综合应用,解析,2,答案,故函数f(x)的周期为6. f(2 017)f(63361)f(1). f(x)为偶函数，f(1)f(1)，,f(2 017)2.,解析,1,2 019),答案,a1. 又由当x1时，y12 018a0，得a2 019. a的取值范围是1,2 019) .,(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上是增加的.若实数a满足f(2|a1|)f( )，则a的取值范围是_.,解析,答案,又由已知可得f(x)在(0，)上是减少的，,课时作业,1.下列函数为奇函数的是 A.y B.y|sin x| C.ycos x D.yexex,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 函数y 的定义域为0，)，所以该函数不具有奇偶性，排除选项A，函数y|sin x|，ycos x的图像关于y轴对称，所以均为偶函数，排除选项B，C， 故选D.,解析,答案,2.设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是 A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，,由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.,3.(2017江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x2x1，则f(f(1)等于 A.1 B.1 C.2 D.2,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 yf(x)是奇函数， f(1)f(1)1， f(f(1) )f(1)1.,解析,4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x 时，f(x)log2(3x1)，则f(2 021)等于 A.4 B.2 C.2 D.log27,解析,答案,解析 函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4， f(2 021)f(45051)f(1)f(1).,f(x)log2(3x1)， f(1)log23(1)12， f(2 021)f(1)2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是 A.f(x) B.f(x)x2 C.f(x)tan x D.f(x)cos(x1),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由f(x)f(2ax)，yf(x)关于直线xa对称(a0)，题中四个函数中，存在对称轴的有B，D，而B中f(x)x2的对称轴为x0，不满足题意，故选D.,6.已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是增加的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是 A.f(0)f(6.5)f(1) B.f(6.5)f(0)f(1) C.f(1)f(6.5)f(0) D.f(1)f(0)f(6.5),解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2. 函数f(x)为偶函数， f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1). f(x)在区间0,1上是增加的， f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1).,7.若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.,解析 函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，,解析,答案,整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,8.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则 f(1)_.,2,解析 函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2， f(1)f(1)f(12)f(1)， f(1)0，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是增函数.如果实数t满足f(ln t) 2f(1)，那么t的取值范围是_.,解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,得f(ln t)f(1). 又函数f(x)在区间0，)上是增函数，,11.已知函数f(x) 是奇函数. (1)求实数m的值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设x0， 所以f(x)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x). 于是x0时，f(x)x22xx2mx， 所以m2.,(2)若函数f(x)在区间1，a2上是增加的，求实数a的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 要使f(x)在1，a2上是增加的，,所以1a3， 故实数a的取值范围是(1,3.,12.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x. (1)判断f(x)的奇偶性；,解 f(1x)f(1x)，f(x)f(2x). 又f(x2)f(x)，f(x)f(x). 又f(x)的定义域为R， f(x)是偶函数.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式.,解 当x0,1时，x1,0， 则f(x)f(x)x； 从而当1x2时，1x20， f(x)f(x2)(x2)x2.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即函数f(x)的周期是4， 所以f(2 019)f(50541)f(1). 因为函数f(x)为偶函数， 所以f(2 019)f(1)f(1).,由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 019)f(1)1.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有 2是函数f(x)的周期； 函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； 函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是_.,解析 在f(x1)f(x1)中，令x1t， 则有f(t2)f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故正确； 当x0,1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确； 由知，f(x)在0,2上的