高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第69讲曲线与方程练习理新人教版.docx

第69讲曲线与方程夯实基础【p157】【学习目标】1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3能熟练地运用直接法、定义法、代数法、参数法等方法求曲线的轨迹方程【基础检测】1对kR，则方程x2ky21所表示的曲线不可能是()A两条直线B圆C椭圆或双曲线D抛物线【解析】由k0，1时分别表示直线与圆；及k0且k1时表示椭圆；k0时表示双曲线，所以方程x2ky21不可能为抛物线【答案】D2当点P在圆x2y21上变动时，它与定点Q(3，0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21D(2x3)24y21【解析】设P(x1，y1)，Q(3，0)，设PQ的中点M的坐标为(x，y)，则有x12x3，y12y，又点P在圆x2y21上，所以(2x3)2(2y)21.即点M的轨迹方程为(2x3)24y21.【答案】C3已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且|O1O2|8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支D抛物线【解析】设动圆M的半径为R，由题意得|MO1|R2，|MO2|R4，所以|MO2|MO1|6(常数)，且60)，则半径长为|x|，因为圆x2y26x0的圆心为(3，0)，所以|x|3，则y212x(x0)，若动圆在y轴左侧，则y0，即圆心的轨迹方程为y212x(x0)或y0(x0)或y0(x2|MN|.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(3)在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|2，求顶点A的轨迹方程【解析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，E、F分别为另两个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|，|AB|AC|2)【点评】应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解考点3代入法求轨迹方程设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程【解析】设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(x4a)又点C与A，B不重合，x0(62)a，ABC的重心的轨迹方程为(x4a).【点评】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程考点4参数法求轨迹方程如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*，1i9)(1)求证：点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程【解析】法一：(1)依题意，过Ai(iN*，1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*，1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCMSOCN41，所以SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x20)与双曲线1(m0)有相同的焦点，则动点P(n，m)的轨迹是()A椭圆的一部分B双曲线的一部分C抛物线的一部分D圆的一部分【解析】椭圆1与双曲线1有相同的焦点，9n24m2，即m2n25(0n3)这是圆的一部分【答案】D2已知圆O：x2y21，P是圆O上任意一点，过点P向x轴作垂线，垂足为P，点Q在线段PP上，且2，则点Q的轨迹方程是()A9x2y21Bx21Cx29y21Dx21【解析】设点P(x，y)，P(x，0)，Q(x0，y0)，根据2，因为三点在同一条竖直的线上，故得到y3y0，xx0，P是圆O上任意一点，将点坐标代入得到x9y1.【答案】C3已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30，得2xy50.【答案】D4若动点P(x，y)与两定点M(a，0)，N(a，0)的连线的斜率之积为常数k(ka0)，则点P的轨迹一定不可能是()A除M，N两点外的圆B除M，N两点外的椭圆C除M，N两点外的双曲线D除M，N两点外的抛物线【解析】因为动点P(x，y)与两定点M(a，0)，N(a，0)的连线的斜率之积为常数k，所以k，整理得y2kx2ka2，当k0时，方程的轨迹为双曲线；当k0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且0，0，则点N的轨迹方程为_【解析】由题意，知PMPF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：xa上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y24ax.【答案】y24ax7已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程【解析】(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.8如图，动圆C1：x2y2t2，1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左、右顶点求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程【解析】由椭圆C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0，向量a(0，1)，b(m，0)，经过点A(m，0)，以ab为方向向量的直线与经过点B(m，0)，以b4a为方向向量的直线交于点P，其中R.(1)求点P的轨迹方程，并指出轨迹E.(2)若点C(1，0)，当m2时，M为轨迹E上任意一点，求|MC|的最小值【解析】(1)由题意得ab(m，)，直线AP的方程为y(xm)，又b4a(m，4)，直线BP的方程为y(xm)，由，消去参数，得y2(x2m2)，整理得1，故点P的轨迹方程为1(m0)当m2时，轨迹E是以(0，0)为圆心、半径为2的圆；当m2时，轨迹E是以(，0)为焦点、长轴长为2m的椭圆；当0m2时，轨迹E是以(0，)为焦点、长轴长为4的椭圆(2)当m2时，轨迹E的方程为1，M为轨迹E上任意一点，设点M的坐标为(2cos，2sin)(为参数)，则|MC|，cos1，1，当cos时，|MC|取得最小值.4设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围【解析】(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4