次课——二次型及其标准形的化简上传教案.ppt

对实对称矩阵A，求正交矩阵P使得P-1AP为对角阵的具体步骤为：,2.,1.,5. 以它们为列向量构成P，则P为正交矩阵，且,施密特正交化方法（P114）,对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。,只需将同一个特征值的特征向量正交化,复习(Review)：,P的列向量是两两正交的单位向量,P-1=PT,第五节 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的矩阵表示 三、化二次型为标准形 四、二次型的正定性 五、小结,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,1. 二次型,一、二次型及其标准形的概念,例如,都为实二次型.,1. 二次型,没有平方项,只有平方项,为二次型的标准形.,例如,一、二次型及其标准形的概念,2. 标准形,二、二次型的矩阵表示,实对称矩阵,二次型的矩阵,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵形式,解:,例,二、二次型的矩阵表示,练习题：,习题五 （P136） 26,与例1比较，题目要求不同,例2 写出矩阵,对应的二次型.,对角形矩阵对应二次型的标准形.,解:,二、二次型的矩阵表示,三、化二次型为标准形,主要问题是： 寻求可逆的变换，将二次型化为标准形,二次型的标准形,一般 二次型,实对称矩阵,对角形矩阵,合同变换,实对称矩阵,对角形矩阵,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,三、化二次型为标准形,系数为特征值,与对角形矩阵对应,解:,1写出对应的二次型矩阵,例3,三、化二次型为标准形,解:,例3,2. 求二次型矩阵特征值,三、化二次型为标准形,从而得特征值,3求特征向量,三、化二次型为标准形,4将特征向量正交化,得正交向量组,三、化二次型为标准形,施密特正交化方法（P114）,5将正交向量单位化，得正交矩阵P,三、化二次型为标准形,则利用正交变换 x = Py，即,三、化二次型为标准形,系数为特征值,二次型的标准形是否唯一？,三、化二次型为标准形,化二次型为标准形的方法还有配方法和合同变换法，不同的方法会得到不同的标准形。,不同的标准形中系数不为0的平方项的项数是唯一确定的，系数为正的平方项的个数也是唯一确定的。 （P132 定理9 惯性定理）,二次型的秩,二次型对应的矩阵的秩, P,D=eig(A) P = 0 0 1 -985/1393 985/1393 0 985/1393 985/1393 0 D = 2 0 0 0 4 0 0 0 4 求正交变换化二次型为标准形，并写出标准形的形式。,例， 已知二次型f(x1, x2, x3)的矩阵为A, 若在MATLAB软件中，有如下结果：,MATLAB软件求二次型标准形：,为正定二次型.,为负定二次型.,四、二次型的正定性,例如,既不是正定二次型， 也不是负定二次型.,矩阵的正（负）定 与二次型的正（负）定一致,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正,定理 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,四、二次型的正定性,解：,它的主子式,故上述二次型是正定的.,四、二次型的正定性,定理 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇 数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是： 的特征值全为负,四、二次型的正定性,解:,四、二次型的正定性,变量的形式不同,练习题：,参考答案：,2. 二次型的矩阵和二次型的秩,五、小结,3. 利用正交变换将二次型化为标准形,1. 二次型的矩阵形式和一般形式之间的转换,4. 二次型正定性的判定,5. 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应