2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步2.2.1圆的标准方程课后篇巩固探究北师大版.docx

2.1圆的标准方程课后篇巩固探究A组基础巩固1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1解析设圆心的坐标为(0,m),则有1+(m-2)2=1,解得m=2,所以圆的方程是x2+(y-2)2=1.答案A2.方程y=-12-x2表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆解析由y=-12-x2两边平方可得y2=12-x2,即x2+y2=12,又因为y0,所以该方程表示圆x2+y2=12的下半部分.答案D3.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为()A.x-542+y2=2516B.x2+y-542=2516C.x+542+y2=2516D.x2+y+542=2516解析设圆心为(0,a),根据所求圆与x轴相切,可知圆的方程为x2+(y-a)2=a2.又圆过点(-1,2),所以有1+(2-a)2=a2,得a=54,因此圆的标准方程为x2+y-542=2516.答案B4.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是()A.6B.4C.5D.1解析圆的半径r=1,圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d=|30+40-25|32+42=5,故所求的最小值为d-r=4.答案B5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为()A.(-,-2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+)解析曲线C的方程可以化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a2.答案D6.圆心在C(-1,2),且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是.解析因为直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径r=(-1-0)2+(2-0)2=5,又圆心为C(-1,2),故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案(x+1)2+(y-2)2=57.已知圆C1的方程(x+3)2+(y-2)2=5,圆C2与圆C1是同心圆,且与x轴相切,则圆C2的标准方程为.解析由圆C1的方程知圆心C1(-3,2).因为圆C2与圆C1是同心圆,所以圆C2的圆心也为(-3,2).又圆C2与x轴相切,则半径为2,所以(x+3)2+(y-2)2=4.答案(x+3)2+(y-2)2=48.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.答案x2+(y-1)2=19.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且经过点A(6,1),求圆C的方程.解设圆心坐标为(3a,a),因为圆心在直线x-3y=0上,又圆C与y轴相切,所以半径r=|3a|,圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=|3a|2.又过点A(6,1),所以(6-3a)2+(1-a)2=9a2,即a2-38a+37=0,解得a=1或a=37.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112.10.导学号91134052已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断这四个点能否在同一个圆上,为什么?解设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).代入三点的坐标得a2+(b-1)2=r2,(a-2)2+(b-1)2=r2,(a-3)2+(b-4)2=r2,解方程组,得a=1,b=3,r2=5.所以经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.将点D的坐标代入圆的标准方程,左边=右边,所以点D在圆上,故A,B,C,D四点能在同一个圆上.B组能力提升1.圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254解析根据题意,可设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0),半径为r.则a2+(-1)2=r2(a-2)2=r2a2+12=r2,解得a=34,r2=2516.故圆E的标准方程为x-342+y2=2516.答案C2.方程|x|-1=1-(y-1)2表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆解析由题意得(|x|-1)2+(y-1)2=1|x|-10,即(x-1)2+(y-1)2=1x1,或(x+1)2+(y-1)2=1x-1.故原方程表示两个半圆.答案D3.设实数x,y满足(x+3)2+y2=6,则yx的最大值是()A.12B.33C.2D.3解析令yx=k,即y=kx,直线y=kx与圆相切时恰好k取最值,如图所示,易得k=tan=yx=69-6=2.答案C4.如图所示,ACB为一弓形,且点A,B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),(0,2),那么弓形所在圆的方程为()A.x2+y2=16B.x2+y2=4C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+3)2=25解析圆心在弦AB的中垂线上,圆心在y轴上,可设P(0,b).|AP|=|CP|,16+b2=|2-b|,解得b=-3.圆心P(0,-3),半径r=|CP|=5.圆的标准方程为x2+(y+3)2=25.答案D5.设圆C:(x-a)2+(y-1)2=1(a为常数)被y轴截得的弦为线段AB,若弦AB所对的圆心角为2,则实数a=.答案226.已知ABC的顶点A(-1,0),B(1,0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=1上移动,如图所示,则ABC面积的最小值为.解析|AB|=2为定长,当ABC的高即点C到AB的距离最小时,SABC最小,又圆心为(2,2),半径为1.所以此时点C的坐标为(2,1),SABC的最小值为1.答案17.一束光线从点A(-1,1)发出,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,最短路程为.解析设光线与x轴交于B(x,0),依题意得kBC+kBA=0,即32-x+-1x+1=0.解得x=-14,于是最短路程为d=|AB|+|BC|-1=1+916+9+8116-1=4.答案48.导学号91134053已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).(1)求此圆的标准方程;(2)设点P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.解(1)由题意,结合图可知圆心C(3,0),r=2,所