高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制学案无答案新人教A版必修4.docx

11.2弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案周角的等于1度思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关梳理(1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案利用1rad和1rad进行弧度与角度的换算梳理(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602rad2rad360180radrad1801rad0.017_45rad1rad57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案设扇形的半径为R，弧长为l，为其圆心角的弧度数，则：为度数为弧度数扇形的弧长llR扇形的面积SSlRR211 rad的角和1的角大小相等()提示1rad的角和1的角大小不相等，1rad.2用弧度来表示的角都是正角()提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关()提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记rad180即可求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可跟踪训练1(1)把下列角度化成弧度：150_；2100_；1115_；11230_.(2)把下列弧度化成角度：_；_；_；_.考点弧度制题点角度与弧度的互化答案(1)(2)303008175类型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角(1)1500；(2)；(3)4.考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)150018003005360300.1500可化成10，是第四象限角(2)2，与终边相同，是第四象限角(3)42(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练2(1)把1480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0，720内找出与角终边相同的角考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)14801480，而10，且02，.14802(5).(2)72，终边与角相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72；当k1时，432.在0，720内与角终边相同的角为72，432.类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120，半径为，则此扇形的面积为()AB.C.D.(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A2B.C2sin1D.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案(1)A(2)D解析(1)扇形的中心角为120，半径为，所以S扇形|r2()2.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2.反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是Slr|r2，二是l|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个求解时应注意先把度化为弧度，再计算跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2rad.1下列说法正确的是()A1弧度就是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小考点弧度制题点弧度制的定义答案D解析由弧度的定义可知D正确2把化为角度是()A270B280C288D318考点弧度制题点角度与弧度的互化答案C解析288.3若5，则角的终边在()A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案D解析25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则5也是第一象限角4已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为()A.B.C.D.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案C解析由S|r2得12，所以.5已知扇形AOB的圆心角为，半径长R为6，求：(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1)lR64，所以弧AB的长为4.(2)S扇形OABlR4612.如图所示，过点O作ODAB，交AB于点D，120，所以AOD60，DAO30，于是有SOABABOD26cos3039.所以弓形的面积为S扇形OABSOAB129.所以弓形的面积是129.1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180rad”这一关系式易知：度数rad弧度数，弧度数度数3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度一、选择题1下列说法中，错误的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1rad的角是周角的C1rad的角比1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关考点弧度制题点弧度制的定义答案D解析根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2240化为弧度是()ABCD考点弧度制题点角度与弧度的互化答案A解析240240.3(2017潍坊检测)圆的半径是6cm，则圆心角为15的扇形面积是()A.cm2B.cm2Ccm2D3cm2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案B解析因为15，所以l6(cm)，所以Slr6(cm2)4设角2弧度，则所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案C解析2，2222，即22，22为第三象限角，为第三象限角5把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()AB2CD考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案A解析22(1)，.6若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为()A13B23C43D49考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的面积公式答案B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则Rrr2r3r.S内切圆r2.S扇形R2R29r2r2.S内切圆S扇形23.7.九章算术是我国古代数学的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A6m2B9m2C12m2D15m2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案B解析根据题设，弦24sin4(m)，矢422(m)，故弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2)二、填空题8(2017宜春检测)是第_象限的角考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案三解析因为6，而是第三象限的角，所以是第三象限的角9(2017陕西榆林一中月考)圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是_考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式答案2解析设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，则raa，又弧长为a，所以圆心角为2.10时针经过一小时，转过了_考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案rad解析时针经过一小时，转过30，又30rad.11如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为_考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用答案解析如图，作BFAC.已知AC2，ABC，则AF，ABF.AB2，即R2.弧长l|R，SlR.12.是第_象限角答案三解析20.与终边相同，又是第三象限角，是第三象限角三、解答题13已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是a，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60，R10(cm)，lR (cm)S弓S扇S10210sin10cos50 (cm2)(2)l2Ra，la2R，从而SlR(a2R)RR2R2.当半径R时，la2，扇形面积的最大值是，这时2(rad)当扇形的圆心角为2rad，半径为时，扇形面积最大，为.四、探究与拓展14如图，已知一