高中数学集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大值、最小值学案.docx

第2课时函数的最大值、最小值学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法(重点).知识点函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值.()(2)若存在实数m，使f(x)m，则m是函数f(x)的最小值.()(3)若函数f(x)在区间a，b上是增函数，则f(x)在区间a，b上的最小值是f(a)，最大值是f(b).()提示(1)反例：f(x)x既无最大值，也无最小值.(2)若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)m.(3)由于f(x)在区间a，b上是增函数，所以f(a)f(x)f(b).故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b).题型一用图象法和函数的单调性求函数的最值【例1】(1)已知函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为_，_.(2)求函数f(x)在区间2，5上的最大值与最小值.(1)解析作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.答案10(2)解任取2x1x25，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1).2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(2)，所以f(x)在区间1，2上的最大值为f(1)5.(3)因为f(x)在区间2，3上单调递增，所以f(x)在区间2，3上的最小值为f(2)2，最大值为f(3)5.【探究3】已知函数f(x)x2ax1，(1)求f(x)在0，1上的最大值；(2)当a1时，求f(x)在闭区间t，t1(tR)上的最小值.解(1)因为函数f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，所以区间0，1的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1.(2)当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x.当t时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在t，t1上是减函数，f(x)minf(t1)t2t1；当tt1，即t0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.答案C4.函数f(x)3x在区间2，4上的最大值为_.解析在区间2，4上是减函数，3x在区间2，4上是减函数，函数f(x)3x在区间2，4上是减函数，f(x)maxf(2)324.答案45.已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值.解作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.课堂小结1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.基础过关1.函数f(x)在2，2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A.f(2)，0B.0，2C.f(2)，2 D.f(2)，2解析由图象可知，此函数的最小值是f(2)，最大值是2.答案C2.已知f(x)，则yf(x)在区间2，8上的最小值与最大值分别为()A.与 B.与1 C.与 D.与解析y在2，8上单调递减，故当x8时，ymin，当x2时，ymax.答案A3.函数f(x)的最大值是()A. B. C. D. 解析因为1x(1x)x2x1，所以0.故f(x)的最大值为.答案C4.函数y的最小值为_，最大值为_.解析由题意可知，当x3，1时，ymin2；当x(1，4时，ymin5，故最小值为5，同理可得，最大值为0.答案505.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.解析设矩形花园的宽为y，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大.答案206.已知函数f(x)，x3，5.(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.(1)证明任取x1，x23，5且x1x2，则f(x1)f(x2).3x1x25，x1x20，f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)，f(x)在3，5上为增函数.(2)解由(1)知，f(x)在3，5上为增函数，则f(x)maxf(5)，f(x)minf(3).7.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，问每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间最大面积为多少？解由题意知笼舍的宽为x m，则笼舍的长为(303x)m，每间笼舍的面积为yx(303x)(x5)237.5，x(0，10).当x5时，y取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5 m2.能力提升8.若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A.(0，4 B. C. D.解析f(x)x23x4，f，又f(0)f(3)4，故由二次函数图象可知(如图)：m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是，故选C.答案C9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A.90万元 B.60万元C.120万元 D.120.25万元解析设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15x)台，公司获利为Lx221x2(15x)x219x3030，当x9或10时，L最大为120万元.答案C10.函数g(x)2x的值域为_.解析设t(t0)，则x1t2，即xt21，y2t2t22，t0，当t时，ymin，函数g(x)的值域为.答案11.函数yx26x9在区间a，b(ab3)上有最大值9，最小值7，则a_，b_.解析y(x3)218，ab1时，f(x)在1，1上单调递减(如图(1)所示)，故f(x)minf(1)32a；当1a1时，f(x)在1，1上先减后增(如图(2)所示)，故f(x)minf(a)2a2；当a1时，f(x)在1，1上单调递增(如图(3)所示)，故f(x)minf(1)32a.综上可知f(x)的最小值为f(x)min13.(选做题)某专营店销售某运动会纪念章，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚，而每增加一元，则减少销售100枚.现设每枚纪念章的销售价格为x元，x为整数.(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式，并写出这个函数的定义域