安徽省宿州市十三所重点中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）.docx

宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.以一个直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 一个圆台 D. 两个圆锥【答案】D【解析】【分析】由题意结合旋转体的性质确定所得的几何体形状即可.【详解】由题意结合旋转体的特征可得所得的空间几何体为两个圆锥，其中圆锥共底面，一个顶点位于底面上方，一个顶点位于底面下方.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查旋转体的形成，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.直线的倾斜角是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 120【答案】C【解析】分析：由直线的方程可得直线的斜率为：，进而根据倾斜角与斜率之间的共线得到直线的倾斜角解：由直线的方程可得直线的斜率为：，所以直线的倾斜角的度数为：60故答案为：C3.已知直线与垂直，则（ ）A. B. C. -2 D. 2【答案】D【解析】【分析】由题意结合直线垂直的充分必要条件确定m的值即可.【详解】很明显直线的斜率存在，直线方程即：，由直线垂直的充分必要条件可得：，解得：.本题选择D选项.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论4.在空间直角坐标系中，已知点，过点P作平面yoz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于垂足Q在yOz平面内,可设Q(0,y,z)直线PQyOz平面P、Q两点的纵坐标、竖坐标都相等，P的坐标为 ，,可得 ，本题选择B选项.5.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的度数是（ ）A. 0 B. 30 C. 60 D. 90【答案】C【解析】【分析】首先将几何体还原，然后结合其空间结构特征确定角度值即可.【详解】将正方体还原之后如图所示，由于的三条边均为正方体的面对角线，故，即是等边三角形，据此可得：ABC的度数是60.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，折叠问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知平面，直线，点，则下列命题正确的是( )A. 若，则 B. 若，则C. 若,，则 D. 若,，则【答案】C【解析】【分析】逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题：A.若，则，此时不满足，该命题错误；B.若，则，此时不满足，该命题错误；C.由立体几何基本公理可知：若,，则，该命题正确；D.若,，有可能，也可能，该命题错误.本题选择C选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系、点面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.圆心在轴上，且过点(2,4)的圆与轴相切，则该圆的方程是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法确定圆的方程即可.【详解】很明显圆心位于轴正半轴，设圆心坐标为，则圆的半径，不妨设圆的方程为，该圆过点，则：，解得：，则圆的方程为：，整理为一般式即：.本题选择D选项.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式8.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：,，向量,， .本题选择C选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱的大小是( ) A. 3 B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后确定各个棱长，据此即可求得最大的棱长.【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，三视图对应的几何体为图中的三棱锥，据此计算可得：，则该三棱锥最长的棱的大小是3.本题选择A选项.【点睛】三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A. 4 B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可.【详解】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成，其中正四棱锥底面边长为，棱锥的高为，据此可知，多面体的体积：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查组合体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（ ）A. 2 B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解的最大值即可.【详解】圆的方程即：，圆心坐标为，半径为，代数式表示圆上的点与定点连线的斜率，设过点的直线方程为，与圆的方程联立可得：，考虑临界条件，令可得：，则的最大值为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知圆与直线相交于两点，为圆上的一点，的中点在线段上，且，则圆的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先作出辅助线，然后结合圆的性质得到关于半径的方程组，求解方程组即可得到圆的半径.【详解】过O作OEAB于E，连结OA，则OE=由垂径定理得|AE|=|EB|，设|DE|=x，则由可知|AE|=4x，由勾股定理得：（4x)2+2=r2，x2+2=，解得.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_ .【答案】或【解析】试题分析：当截距为0时，直线斜率为，直线为，当截距不为零时，设直线为 ，直线方程为，综上直线为考点：直线方程14.如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是_.【答案】60【解析】【分析】首先利用余弦定理求得的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可.【详解】很明显或其补角为所求二面角的平面角，设等腰直角ABC的直角边长度为，则，由余弦定理可得：，则，BCD为等边三角形，据此可得，即所求二面角大小是60.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角15.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为2，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为，则正四棱柱体的体积为_.【答案】40.【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可.【详解】球形容器表面积的最小值为，得到，四棱柱的对角线长为，设正四棱柱的高为，所以，所以正四棱柱的体积为.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知圆，直线，下面五个命题：对任意实数与，直线和圆有公共点；存在实数与，直线和圆相切；存在实数与，直线和圆相离；对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切.其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）.【答案】【解析】【分析】由题意结合直线的性质和圆性质整理计算即可求得最终结果.【详解】直线恒过定点，将代入，等式成立，即圆过定点，据此可知：对任意实数与，直线和圆有公共点；存在实数与，直线和圆相切；不存在实数与，直线和圆相离；说法正确，说法错误；对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；说法正确；当时，圆的方程为：，此时不存在实数，使得直线与和圆相切，即说法错误.综上可得：真命题的代号是.【点睛】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知直线：，(1)求与的交点的坐标.(2)求过交点且与垂直的直线方程，并化为一般式.【答案】(1) （-2，3）(2) 【解析】【分析】(1)联立直线方程即可求得交点坐标；(2)利用直线系方程确定所求的直线方程即可.【详解】（1） 联立直线方程：，可得交点P 的坐标为：（-2，3）（2）设所求直线方程为，直线过点，则：，解得：，所求直线方程为： 【点睛】本题主要考查直线交点坐标的求解，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，已知矩形所在平面与平面垂直，/， ，.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；（2）由题意结合几何体的空间结构特征可证得平面，结合线面垂直的判定定理可得平面面.【详解】（1）因为四边形矩形是矩形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）矩形所在平面与底面垂直，且交线为，所以平面,又因为,故平面，又在平面内，从而；过作垂直于，可得，又，所以，即，而，又因为，所以平面，又平面内，所以平面面.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.在中，点（7，4），（2，9），（5，8）(1)求的面积.(2)求的外接圆的方程.【答案】(1)5(2) 【解析】【分析】(1)由弦长公式求得AB的长度，由点到直线距离公式求得三角形的高，然后利用面积公式可得三角形的面积；(2)由题意利用待定系数法求解的外接圆的方程即可.【详解】（1）A（7，4），B（2，9），=5，直线AB方程为：，即x+y-11=0，点C到直线AB的距离，=.（2）设的外接圆心为O（a,b）则，即.ABC的外接圆方程为.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式20.如图，在三棱锥中，平面， ,为线段的中点, 为线段上一动点，且,.(1)求证: 平面.(2)当平面时，求三棱锥的体积【答案】(1)见解析(2) 【解析】【分析】(1)由题意利用线面垂直的判定定理证明平面即可； (2)结合几何体的空间结构转化顶点，求解三棱锥的体积即可.【详解】(1)平面，又，平面； (2)PA平面，平面，平面平面，又为中点，为中点且，又，故三棱锥的体积为.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积21.已知圆的方程为 （1）求的取值范围；（2）若此圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用圆的判别式得到关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围；(2)联立直线方程与圆的方程，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算求解k的值即可.【详解】（1），；(2)由消去得：，设，由韦达定理得，即，满足题意.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法22.如图所示，在直角梯形中，, , =6,=4,=2，点,分别在、上,，并且为中点现将四边形沿折起,使平面平面(1)证明：.(2)在上确定一点，使得过、的平面将三棱锥分成的两部分体积相等.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1)由题意结合几何