概率论与数理统计2-1.离散型随机变量的概率分布1.ppt

2-1-1,第二章 随机变量及其分布,1 离散型随机变量的概率分布 2 随机变量的分布函数 3 连续型随机变量的概率密度 4 随机变量的函数的分布,2-1-2,2 .1 离散型随机变量及其分布,随机变量的概念,离散型随机变量的概念及分布,一些常用的离散型随机变量,2-1-3,一. 随机变量的概念：,例如：1.抛掷一枚硬币,可能出现正面,反面两种结果,于是S=正,反,规定：,2.某工厂产品分为一等,二等,三等,等外.于是S=一等,二等,三等,等外,若规定：,2-1-4,3 .在上午 8:009:00 时间段内某路口观察通过的汽 车数,可能是0，1，2，3，于是S=0,1,2,3,， 规定：,4 .灯泡的寿命（单位:秒),可能的寿命t是大于等于0, 于是S=t:t0.规定：,以上四例的共同点 对于样本空间S中的每一个样本 点e均标以一个实数,即确定了一个定义在样本空间上 的变量随机变量.,2-1-5,定义：设有随机试验E的样本空间S,如果对于样本空 间中的每一个样本点e都对应一个确定的实数X(e),由此确定的一个定义在S上的单值函数：X=X(e),称此为随机变量.一般用大写字母X,Y,Z,说明：随机变量与高等数学中函数的概念不同。,1.随机变量定义在样本空间上，函数定义在实数上。,2.随机变量取值具有随机性，因试验的结果不同而取值不同，其每个可能的取值均对应一定的概率，但取值范围是确定的。,3.随机事件是由样本点构成的集合，故可说随机变量是随机事件基础上的一个概念。,2-1-6,说明：定义随机变量依问题的需要而定,如掷一枚骰子,我们定义了随机变量X表示出现的点数.我们可以定义其随机变量为：,2-1-7,对于每个试验的结果的出现均有一定的概率,因 而随机变量的取值有一定概率.,定义 设有随机试验E的样本空间S,如果对于样本空 间中的每一个样本点e都以一定的概率确定一个实 数X(e),此时所确定的定义在S上的单值函数:X=X(e), 称为随机变量。,2-1-8,二、离散型随机变量的概念及分布,1.离散型随机变量的定义,定义：如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷 个，则称X为离散型随机变量,设离散型随机变量X的所有可能取值为,其相应的概率为 ：,2-1-9,2.离散型随机变量的概率分布,设离散型随机变量 X 的所有可能取值为,其相应的概率为 ：,称 为离散型随机变量X的 概率函数或概率分布,公式可以用表格形式给出,离散型随机变量 X 的分布律,2-1-10,由定义得:,说明： 1.判断一个变量是否为随机变量只需验证这两条。,2.一个离散型随机变量的统计规律须知道X的所有可能取值及每一个可能取值的概率。,2-1-11,例1 设同种产品100件，其中5件是次品，现从中不放 回地随机取10件进行检验，求取到次品数的概率。,X 的分布律：,解： X 表示“取10件产品的次品数”，故X的所有可能 取值为0，1，2，3，4，5。,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,属于古典概型,2-1-12,说明：,任何事件的概率可借助随机变量的分布率求得。,X 的分布律：,如欲求“抽到10件产品中至少两件为次品”的概率。,用A表示“抽到10件产品中至少两件为次品”事件。,2-1-13,例2 从110这10个数字中随机取出5个数字，令X： 取出的5个数字中的最大值试求X的分布律,具体写出X 的分布律：,解： X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 并且,=,求分布率一定要说明 k 的取值范围！,2-1-14,例3 将 1 枚硬币掷 3 次，令X：出现的正面次数与反 面次数之差试求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值为,-3， - 1，1，3,并且分布率为,2-1-15,例4 设随机变量 X 的分布律为,解：由分布率的性质，得,所以, c = 3,级数为等比级数,2-1-16,例5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).,PX=3,可爱的家园,=(1-p)3p,2-1-17,解： 以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：,X pk,0 1 2 3 4,p,或写成 PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4,(1-p) p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,以 p = 1/2 代入得：,2-1-18,三、一些常用的离散型随机变量,1. Bernoulli分布,设随机变量X的取值只是0，1，其概率函数为,则称随机变量X服从参数为P的的 Bernoulli分布,其分布率为：,2-1-19,Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布,Bernoulli分布的概率背景,进行一次Bernoulli试验， A是随机事件。设：,设X 表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数或者设,2-1-20,2. Bernoulli试验、二 项 分 布,1）n重独立随机试验,2）n重Bernoulli试验,设有随机试验E ，将试验E重复独立进行n次，即对试验E重复进行n次，每次试验的结果出现的概率均不依赖于其他各次试验结果。称这一系列试验为n重独立试验。,设有n重独立随机试验， 如果每次试验E的结果仅有可能的结果：A与 ，则称这一系列试验为n重Bernoulli试验。,2-1-21,n 次相互独立试验的例子,掷 n 次硬币，可看作是 n 次独立试验； 在一批产品中有放回地抽取n件产品进行检验，可看作是 n 次独立试验； 观察 n 个元件的使用寿命，可看作是 n 次独立试验 掷一颗骰子n次，有六种结果但如果我们只关心出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”可以作n重是Bernoulli试验。,2-1-22,3）n重Bernoulli 试验中成功恰好出现k次的概率,定理：设在 n 重Bernoulli 试验中，,事件A恰好出现k次的概率为：,证明：在 n 重Bernoulli 试验中，事件A出现k次，则 出现 n-k次，,而在 n 次试验中，事件A出现k次，则 出现n-k次 共有 种排列次序，所对应的概率为：,2-1-23,例5 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效求： 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试验却被否定的概率 新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率,解： 给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli试验,2-1-24, 由于新药无效，则,此时若肯定新药，只有在试验中至少有4人痊愈因此, 若新药有效，则此时若否定新药，只有在试验中 不到4人痊愈因此,2-1-25,定义：如果随机变量 X 的分布律为,(1) 由于0p 1 ,以及 n 为自然数,可知,2-1-26,(2) 又由二项式定理,可知,所以,是分布律,说 明：Bernoulli 分布是二项分布的特例,当 n=1 时,2-1-27,说明：事件A在n重Bernoulli试验中至少出现m次的概率,若令X表示事件A在n重Bernoulli试验中出现次数.则,事件A在n重Bernoulli试验中出现的次数不少于m次的概率,则,2-1-28,例5 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件试求下列 事件的概率： B= 取出的15件产品中恰有2件次品 C= 取出的15件产品中至少有2件次品 ,由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是15重 Bernoulli试验,解：,所以，,2-1-29,例 6 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其 中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对4道题以上的 概率是多少？,答5道题相当于做5重Bernoulli试验,解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，,所以，,2-1-30,例 7 某人在相同的条件下，相互独立地向目标射击5次，每次 击中目标的概率为0.6,求击中目标次数X的分布率，并求至少三 次击中目标的概率。,解：每次射击目标一次相当于做一次Bernoulli试验，5次射击 相互独立,若用X表示击中目标的次数,X可能取值为0,1,2,3,4,5，则,于是，,2-1-31,二项分布的分布形态,则二项分布的分布率 先是随,着 k 的增加而增大,达到其最大值后再随着k 的增大而减少 此时称使PX=k 最大的 为二项分布的最可能值。,可以证明：,2-1-32,例 8 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均 为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？,则由题意,解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验令：,因此，最可能射击的命中次数为,其相应的概率为,2-1-33,3）Poisson 分布,如果随机变量X 的分布律为, 则称随机变量 X 服从参数为的Poisson 分布,(1) 由于0,可知对任意的自然数 k,有,(2) 又由于,2-1-34,如果随机变量X 的分布律为,试确定未知常数c .,例9,由分布律的性质有,解：,2-1-35,例 10 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,得,解方程,得,所以，,2-1-36,Poisson 定理： n重Bernoulli试验中，用表示 事件A在试验中 发生的概率，它与试验的总次数n有关，如果,证明：,2-1-37,对于固定的 k，有,所以，,说明,由 Poisson 定理，可知,2-1-38,例 11,设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至 少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）,解：,2-1-39,例 15 某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的 概率都是 0.01. 在通常情况下，一台车床的故障可由一 个人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当车床 发生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01 ？,解：设需配备 N 人,记同一时刻发生故障的设备台数 为 X ,则 X b(100，0.01),使得,需要确定最小 N 的取值,2-1-40,查表可知,满足上式的最小的 N 是 4,因此至少需配备 4 个工人.,例 15（续）,2-1-41,例 12 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费 100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万的 赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为0.001，求 （1）保险公司亏本的概率； （2）保险公司获利不少于10万元的概率.,解：设此类被保人一年内死亡的人数为 X ，则,（1）P(保险公司亏本),（2）P(保险公司获利不少于10万元),2-1-42,4）几 何 分 布,若随机变量 X 的分布律为,显然,(1)由条件, 由条件可知,于是知 是一分布律,2-1-43,几何分布的概率背景,在Bernoulli试验中，,试验进行到 A 首次出现为止,即,2-1-44,例 13,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射 击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数 试求随机 变量 X 的分布律，并求至少进行2