江苏专转本第七章无穷级数.ppt

第七章 无穷级数,一、无穷级数的概念,第一节 基本概念与性质,无穷级数,级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和,若 存在，则称无穷级数收敛， 并称S为级数的和，记作,若 不存在，则称无穷级数发散.,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,例7-1. 判别下列级数的敛散性,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,例7-2. 讨论几何级数（ 称为公比）的敛散性.,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,收敛级数,二、级数收敛的必要条件,收敛,？,发散,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,三、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,第二节 正项级数,一、正项级数定义,若,则称,为正项级数 .,二、正项级数收敛的充要条件,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,设 为正项级数，且 ，则,（1）当 时，级数收敛；,（2）当 或 时，级数发散；,（3）当 时，判别法失效.,定理2. 比值判别法,三、正项级数收敛的判别法,例7-3. 讨论下列级数的敛散性.,设 为正项级数，且 ，则,定理3. 比较判别法,(1) 若强级数 收敛，则弱级数 也收敛；,(2) 若弱级数 发散，则强级数 也发散.,(常数 p 0),调和级数,p 级数,收敛,发散,发散,是两个常用的比较级数,则有,证: （1）因为,而级数,发散.,根据比较判别法可知,所给级数发散.,例7-4. 讨论下列级数的敛散性.,设 为正项级数，且 ，则,定理4. 比较判别法的极限形式,(2) 当 l = 0 且 （分母）收敛时， 也收敛；,(3) 当 l =且 （分母）发散时， 也发散.,(1) 当 0 l 时,两个级数同时收敛或发散；,例7-5. 判别下列级数的敛散性,解:,根据比较判别法的极限形式知,解:,根据比较判别法的极限形式知,设 为正项级数，且 ，则,（1）当 时，级数收敛；,（2）当 时，级数发散；,（3）当 时，判别法失效.,定理5. 根值判别法,第三节 任意项级数,一 、交错级数及其判别法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数 收敛.,递减,收敛,收敛,例7-6.用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性.,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,收敛,收敛,发散,绝对收敛,绝对收敛,条件收敛,二、绝对收敛与条件收敛,对任意项级数 ，若 收敛，则称原级 数 绝对收敛.,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则 称原级数 条件收敛.,绝对收敛的级数必收敛.,例7-7. 证明下列级数绝对收敛,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值判别法,根值判别法,收 敛,发 散,不定,比较判别法,用它法判别,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,第四节 幂级数,一、幂级数及其收敛性,1.幂级数的定义,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,当 时，级数变为,称为幂级数的系数 .,若幂级数 在点 收敛，则对满足不 等式 的一切 ，幂级数都绝对收敛，,反之, 若当 时该幂级数发散，则对满足 不等式 的一切 ，该幂级数也发散.,2.幂级数的收敛性,的收敛域是以原点为中心的区间.,幂级数在 (, +) 收敛 ;,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,则有,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径 ，,（R , R ）,在 可能收敛也可能发散 .,在 外发散;,(R , R ) 称为收敛区间.,（1）当 时,收敛域为,二、幂级数的收敛半径及其收敛域的求法,定理2. 若 的系数满足 ， 则,收敛半径,端点 处的敛散性要另外讨论.,（2）当 时,收敛域为,（3）当 时,收敛域为,(系数模比值法）,对端点 x =1,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例7-8.求下列幂级数的收敛半径及其收敛域.,（1）,（2）,解: (3),所以收敛域为,(4),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,（3）,（4）,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,（5）,（6）,求幂级数收敛域的方法,（1）对标准型幂级数,先求收敛半径（比值法） , 再讨论端点的收敛性 .,（2）对非标准型幂级数(通项为复合式),可通过换元化为标准型再求 .,小结：,若函数 在 的某领域内具有 阶导数，则在该领域内有,此式称为 的 阶泰勒级数.,三、函数的幂级数展开,1.泰勒级数,当 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,2. 函数的幂级数的直接展开法,由泰勒级数理论可知, 函数 展开成幂级数的步骤如下： 第一步求出函数及其各阶导数在 处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径 .,解:,其收敛半径为,故得级数,例7-9.（1） 将函数 展开成 的幂级数.,收敛域为,（2） 将函数 展开成 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,（3） 将函数 展开成 的幂级数,（4