人教版九年级数学上册课外辅导专题： 圆的认识（无答案）

圆的认识【考点总汇】一、垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。2.推理：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。 微拨炉：1.在推论中，被平分的弦不能是直径，因为所有的直径均互相平分。2.垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常作垂直于弦的线段，构造直角三角形。二、弧、弦、圆心角的关系同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 微拨炉：应用时一定注意“在同圆或等圆中”的条件；同时要特别注意一条弦所对的弧有两条。三、圆周角定理及推论1.定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 。2.推论：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90的圆周角所对的弦是 。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角 ，它们所对的弧一定 。微拨炉：1.注意定理及推论的条件是“同圆或等圆中”。2.一条弦对着两第弧，对着两类圆周角，且这两类圆周角互补。3.一条弦只对着一个圆心角，却对着无数圆周角。四、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角 。微拨炉：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。高频考点1、垂径定理及其应用【范例】已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点（如图）。（1）求证：。（2）若大圆的半径，小圆的半径，且点到直线的距离为6，求的长。得分要领：1.找准相应线段的长：半径、弦长、弦心距。2.利用垂径定理构造直角三角形：弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边。3.利用勾股定理解决问题。【考题回放】1.如图，的直径垂直弦于点，且，则的长为（ ）A.2 B.4 C.6 D.8 第1题 第2题 第3题2.如图，是的直径，弦于，连接。下列结论中不一定正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，点是等边三角形外接圆上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A.当弦最长时，是等腰三角形 B.当是等腰三角形时， C.当时， D.当时，是直角三角形4.如图，圆的直径cm，且，垂足为，cm，则 。第4题 第5题 第6题5.如图，是半圆的直径，点为圆心，弦，垂足为，交于点，连接，设，则的值为 。6.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点，并使与车轮内圆相切于点，作交外圆于点，测得cm，cm，则这个车轮的外圆半径是 cm。7.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图，与矩形的边分别相切和相交（是交点）。已知，则的半径为 。高频考点2、圆周角定理及其推论【范例】（1）如图，的顶点均在上，若，则的大小是（ ）A.30 B.45 C.60 D.70第（1）题 第（2）题（2）如图，的顶点在上，顶点在的直径上，连接，则的度数是（ ）A.44 B.54 C.72 D.53得分要领：1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应。2.在解决圆周角问题时，常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系，找到一条弦，利用此关系进行角之间的转化和计算。3.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时，构造直径所对的圆周角，利用解直角三角形的知识解决问题，这是圆中最常用的辅助线。【考题回放】1.如图，已知是外接圆的直径，的度数是（ ）A.35 B.45 C.55 D.65 第1题 第2题2.如图，已知点均在上，为优弧，下列选项中与相等的是（ ）A. B. C. D. 3.从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A. B. C. D. 4.如图，点在以为直径的半圆内，连接，并延长分别交半圆于点，连接并延长交于点，作直线，下列说法正确的是：垂直平分；平分；。 A. B. C. D.5.如图，在半径为6cm的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：；cm；四边形是菱形，其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D.6.如图，已知三点在上，于，则的度数是 。第6题 第7题 第8题7.如图，为的内接三角形，为的直径，点在上，则的度数等于 。8.如图，点在上，点在的内部，四边形为平行四边形，则等于 。【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】在半径为13的中，弦，弦和的距离为7，若，则的长为（ ）A. B. C.或 D.或解：选A。如图所示，连接，过点作于点，交于点在Rt中，由勾股定理得：在Rt中，由勾股定理得：【规避策略】1.注意考虑问题要全面，要考虑弦和在圆心的同侧和两侧的情况。2.在已知圆的半径和两条平行弦的距离和一条弦长，求另一条弦长或已知圆的半径和两条平行弦长，求两条弦的距离时，要分两弦在圆心的同侧和两侧两种情况讨论，不要遗漏其中一种情况。【实战演练】1.下列说法正确的是（ ）A.平分弦的直径垂直于弦 B.半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.若两个圆有公共点，则这两个圆相交2.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离是（ ）A.4 B.5 C.6 D.8第2题 第3题3.如图，是圆的直径，cm，弦cm，则两点到直线的距离之和等于（ ）A.12cm B.6cm C.8cm D.3cm4.已知的半径为5cm，圆内有两条弦，且cm，cm，则间的距离为（ ）A.1cm B. 7cm C.1cm或7cm D.不能确定5.如图，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，则的度数是（ ）A.30 B.40 C.50 D.60第5题 第6题6.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为8m，桥拱半径为5m，则水面宽为（ ）A.4m B.5m C.6m D.83cm7.如图，点0，3，0，0，4，0，在的一条弦，则 。第7题 第9题 第10题8.在中，圆心角，点是圆上不同于的一点，则的度数为 。9.如图，一个宽为2cm的刻度尺（刻度单位：cm）放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为 cm。10.如图所示，已知四边形是圆内接四边形，则 度。11.如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度cm，弓开的高cm，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆的半径。【限时小测】建议用时30分钟。总分50分一、选择题（每小题3分，共12分）1.如图，中，则的度数是（ ）A.75 B.60 C.45 D.302.已知如图，圆柱的底面半径为13cm，高为10cm，一平面平行于圆柱的轴，且与轴的距离为5cm，截圆柱得矩形，则截面的面积是（ ）A.240cm B.240cm C.260cm D.260cm3.如图，在中，弦，点是圆上一点，且，则的半径是（ ）A.1 B.2 C. D. 4.已知的直径cm，是的弦，垂足为，且cm，则的长为（ ）A.cm B.cm C.cm或cm D.cm或cm 二、填空题（每小题4分，共12分）5.如图，是的弦，于点，连接。点是半径上任意一点，连接。若cm，cm，则的长度可能是 cm（写出一个符合条件的数值即可）。第5题 第6题 第7题6.如图，点都在上，则的直径的长是 。7.如图，是的直径，点在上，点在线段上运动，设，则的最大值是 。三、解答题（共26分）8.（12分）如图所示，该小组发现8m高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动。小刚身高1.6m，测得其影长为2.4m，同时测得的长为3m