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文档简介
2.2直接证明与间接证明,一、复习:,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,二、问题情境,已知,如图,四边形ABCD是平行四边形, 证明:ABCD,BCDA,证:连结AC,因为四边形ABCD是平行四边形,所以,ABCD,BCDA,故 1 2, 3 4,因为 ACCA,所以,ABCCDA,,故,ABCD,BCDA,(一)直接证明,1 概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立,2 直接证明的一般形式:,三、建构数学,思考:在数学5(必修)中,我们如何证明基本不等式 ?,证明不等式: (a0,b0).,证法2:要证;,只需证;,只需证;,只需证;,因为; 成立,所以 成立,直接证明(数学理论),上述两种证法有什么异同?,都是直接证明,证法1 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止 综合法,相同,不同,证法2 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法,分析与对比,综合法和分析法的推证过程如下:,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,特点:“由因导果”,(二)综合法定义:,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法(顺推证法),一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法(也叫逆推证法或执果索因法),特点:执果索因.,用框图表示分析法的思考过程、特点.,(三)分析法定义:,用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:,练习、求证:,证法一:为了证明,成立,因为,所以只需证明,成立,展开得,即,因为,成立,所以,成立,证法二:,练一练:,例题探究:,例1 如图,已知AB,CD交于点O, ACOBDO,AEBF,求证:CEDF,四、数学应用,例题探究:,证 (综合法) 因为,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,ACOBDO,CODO, AOBO,AEBF(已知),EOFO,EOCFOD(对顶角相等),EOCFOD,ECFD,例题探究,证 (分析法)要证明CEDF,只需证明EOCFOD 为此只需证明,为了证明,只需,为了证明,只需证明AOBO(因为已知AEBF ),也只需ACOBDO(已知),因为EOC与FOD是对顶角,所以它们相等,从而EOCFOD成立,因此命题成立.,ACOBDO,请结合上述例子和自己感受,说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。,(1)综合法: 由因导果,当条件明确,思路清晰时适用; (2)分析法: 执果索因,当条件多,入手难,思路乱时适用。 (3)综合法是分析法的逆过程。,已知条件,结论,结论,已知条件,分析法 解题方向比较明确, 利于寻找解题思路; 综合法 条理清晰,易于表述,通常以分析法寻求 思路,再用综合法有条理地 表述解题过程,用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:,五、综合应用:在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P,若P可以推出Q,就可以证明结论成立,五、小结,1.在数学证明中,综合法和分析法是两种最常用的数学方法,若从已知入手能找到证明的途径,则用综合法,否则用分析法.,2.综合法的每步推理都是寻找必要条件,分析法的每步推理都是寻找充分条件,在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.,3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式,在证明某些较复杂的问题时,常采用分析综合法,用综合法拓展条件,用分析法转化结论,找出已知与结论的连结点.,综合法的特点: 由因导果,分析法的特点:执果索因.
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