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第七章 无穷级数,一、泰勒级数,第四节 函数展开成幂级数,二、函数展开成幂级数,四、小结 练习题,三、幂级数展开式在近似计算上的应用,引言,上节例题,这就是用多项式近似表达函数,是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？,问题:,2.如果能展开, 是什么?,3.展开式是否唯一?,1.在什么条件下才能展开成幂级数?,一、泰勒级数,根据幂级数的和函数的性质，当（1）式成立时，,结论,可见,在x=0点任意可导,该级数在 内和函数 。,初等函数展开定理,定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是 它的幂级数展开式。,并写出展开式（3）；,（4）式右端的级数称为麦克劳林级数。,例1,解,再求级数的收敛半径。,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,二项展开式,注意:,双阶乘,二、间接展开法,1.直接法(泰勒级数法),2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,例5,解,方法一,利用展开式，,方法二,利用展开式，,例6,解,利用展开式，,三、幂级数展开式在近似计算上的应用,因此求得的近似值应使这两种误差之和满足精确度的 要求。,例7,解,利用二项展开式，有,由于这是一个交错级数，故截断误差,计算取5位小数，再四舍五入，,例8,解,这是一个交错级数，若取前两项，得,截断误差,计算取5位小数，再四舍五入，得,例9 计算e的近似值，精确到小数点后四位。,解 在e的展开式中令 ，就得到。 若取前n项的和作为e的近似值，其误差为 只要取n=7，则 ，于是。,例10 计算定积分 的近似 值，精确到小数点后第四位。,解 因为被积函数 不能用初等函数表示，所以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似值。,括号内的式子是满足莱布尼兹准则收敛条件的交错级数，由于,所以取前4项作为近似值即可，,例11 计算定积分 的近似值，精确到小数 点后第四位。,解 因为 ，如果补充被积函数在 处的函数值为1，则被积函数就是 上的连续函 数。但由于 的原函数是无法用初等函数来表 示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。 将被积函数展开为 对幂级数展开式逐项积分,根据交错级数的误差估计 因此，只 要取前三项作为积分的近似值便可，即,四、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,6.幂级数展开式在近似计算上的应用.,5.函数展开的间接展开法,3.函数展开成泰勒级数的方法.,4.函数展开成麦克劳林级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发, 通过
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