函数、极限、连续(专升本专用.ppt

1,第一章：函数、极限、连续 第二章：导数与微分 第三章：中值定理及导数应用 第四章：不定积分 第五章：定积分与广义积分 第六章：偏导数与全微分 第七章：二重积分,辅导内容,2,第一章: 函数、极限、连续,（一）函数 1定义： （1）构成函数的两要素：定义域D,对应规则f; （）当两个函数的定义域和对应规则分别相同时，则可确定这两个函数相同；反之有一个不相同时，就认为是两个不同的函数,3,2.分段函数与隐函数 （1）.分段函数：如果变量x与y的函数关系是由两个或 两个以上的解析式给出的称分段函数.含绝对值符号的 函数也是分段函数.如,分段函数至少有1个以上的分段点，分段点两侧的函 数表达式是不同的，因此讨论分段点处的极限、连续、 导数等问题时，必须分别讨论左、右极限，左、右连 续和左、右导数，分段函数一般不是初等函数.,4,（2）.隐函数：如果自变量x与应变量y的函数关系是由方程 给出的，称为隐函数.如,有些隐函数可以化为显函数（不一定是单值函数）， 有些隐函数则不能化为显函数.,3.复合函数与反函数,u是中间变量，y是因变量,（1）复合函数：若 是 的函数 ， 又是 的函数 ，且 能使 有意义，,则称,是,的复合函数，其中X是自变量，,5,（）严格单调（一一对应）的函数才有反函数,6,基本初等函数与初等函数,基本初等函数：定义、性质、图形非常重要，特别是 图象要很清晰.有助于讨论函数的性质及运算.如：,初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合 步骤所构成的并且可由一个解析式表示的函数统称为初 等函数,7,若f(x)的定义域关于x=0点不对称，则不可能是奇函 数或偶函数。Y=c(c为非零常数)是偶函数，y=0既是 奇函数也是偶函数， 是非奇非偶的函数,5.非初等函数,（2）积分形式的函数：,8,注：判定一个函数的奇偶性主要根据定义，有时也 用其运算性质：奇函数的代数和为奇函数，偶函数 的代数和为偶函数；偶函数的积为偶函数；偶数个 奇函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。而,9,10,(2)周期性,11,注:求给定函数的周期或有关函数周期性的证明,主 要是利用周期函数的定义及周期函数的运算性质.,12,(3)有界性,注:证明或判定函数的有界性主要依据是: 1.有界性的定义; 2.闭区间上的连续函数是有界的，如果 上连续，且 则 上有界； 3.有极限的数列必有界.,13,14,(4)单调性,*对数函数与指数函数在其定义域内是严格单调的.,注:已知函数可导时,利用一阶导数判定其单调性;未 告之可导时,用单调性定义判定.,15,(二)数列与函数的极限,1.变量的变化过程,16,17,注,18,3.极限的性质:唯一性；局部有界性；局部保号性； 局部比较性。有极限必有界,反之不然.,4.极限存在的两个准则:夹逼准则;单调有界准则,19,5.函数极限的运算法则,20,6.无穷小量与无穷大量,21,注：（1）无穷小量与无穷大量不是绝对的,它是与某个 变化过程联系在一起的.当我们说某个量是无穷小量或 无穷大量一定要指明变化过程.,（2）无穷大量是无界量，反之不然；,（3）无穷小的运算性质,有限个无穷小的代数和仍为无穷小； 有限个无穷小的乘积仍为无穷小； 无穷小量与有界变量（含常量）的乘积仍为无穷小；,（4）无穷大与无穷小的关系,在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小；无穷 小的倒数是无穷大。,22,5.无穷小的比较,23,极限值非零且不等于1,根据无穷小阶的比较, (B)成立.,24,(三)函数的连续性,1.連续的概念 定义1:设函数f(x)在点 的邻域内有定义，如果当自 变量x在点 处取得的改变量 时，函数相应的 改变 量 即， 则称函数f(x)点 处连续，称点 为连续点。,25,3.间断点的类型,第类间断点:左右极限都存在的间断点.其中,第类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点,26,注：一般而言，证明的命题用连续函数的第一个定义方便； 判定函数在某点是否连续，尤其是分段函数在分段点处是否 连续用定义2方便。,2.函数的间断点,27,4.连续函数的运算法则,也在点 处连续.,28,4.闭区间上连续函的性质,29,二、基本问题与解法,问题(一):求函数定义域,1.求由一个解析式解出的函数的定义域,运算依据:,30,运算方法： （1）根据滿足的条件列不等式（组）； （2）解不等式（组），借助数轴找各不等式解的 公共部分即为函数的定义域（一般用区间表示）。,例1.求下列函数的定义域,31,2.已知 的定义域求 的定义域 运算方法：将 视为x，由 的变化范围确定x的变化范围即为 的定义域.,32,33,运算方法：由 的定义域知道 的变化范围， 再由 的变化范围求得 的变化范围即为 的定义域.,34,4.利用函数 的值域求其定义域,分析:先 求的表达式,再解不等式,35,问题(二)：求函数关系与函数表达式,1.已知 求 代入法,运算方法：将 中的 换成 并加以整理,2.已知 求,方法一：将 化为 的函数 ，,1.已知 求 代入法,36,再根据函数表示与自变量用什么字母表示无关的特性 求得,方法二(变量代换法):令 求得 代入原,37,3.已知,4.已知 及 的表达式求,运算方法:变量代换,解方程组,38,4.求反函数的表达式 运算方法： （1）从y=f(x)中解岀 （2）对换x,y的位置，即得反函数 (3)y=f(x)的值域即为 的定义域.分段函数的反,39,函数要分段求，并同时确定各段反函数所定义的区间.,40,问题(三):求极限,1.有理分式的极限,41,2.无理式的极限,42,43,(1)利用重要极限求极限,特征：1）在某个变化过程中呈三角函数 型； 2）正弦变量与分母变量相同且都趋于零.,1,2,44,注:满足第一特征可以考虑用重要极限;满足第二特 征一定能够用重要极限;第三个特征告诉你怎么用.,45,46,例3.求下列极限,47,例4.求下列极限,48,(2).利用等价无穷小代替求极限,注: 只有求无穷小比的极限时，才能考虑用等价无穷 小代替，并且要对整个分子或整个分母（含无穷小的因 式）或同时对分子、分母进行代替，乘除运算尽管用， 加减运算不宜用。,49,常用的等价无穷小:当,50,例5. 求下列极限,51,52,53,2) 罗彼塔法则可連续地用，每用一次都要化简，充分利用 极限四则运算法则、等价无穷小代替以及非零因子的极限 先求出耒简化算式，检查发现不是未定式，就不要用罗彼 塔法则。,3) 使用罗彼塔法则过程中，出现循环现象、有常见极限不存 在的情况(并非无穷大)就要改用它法。如果分子、分母求导 后，算式俞趋复杂，就要按2)的方法处理。,例6. 求下列极限,54,注: 此处利用了极限运算法则,分子分母分别求导,(2) 此题直接用罗比塔法则很麻烦，应先将极限存在的非零 因子分离出耒先求其极限.,例7.求下列极限,55,（4）利用变量代换求极限 通过线性变换、指数变换、三角变换、无理变换、加一 减一、乘一除一、分解折项、倒代换等化为常规型,56,57,解:离散变量连续化,先转化为函数的极限,再用罗 比塔法则,58,求一个函数的极限首先判定属于哪一种类型，如果不是 公式型或常规型就要通过适当的变形变换化简使之能用 上述方法求解。特别注意有非零因子的极限要先求;尽量 要用等价无穷小代换化简;尽量利用极限运算法则分项求， 或分子分母分别求。通常求一个函数的极限不是只用一种 方法就能夠凑效，而是需要综合用各种方法包括利用微积 分的有关知识才能解出。,求极限问题小结:,59,例10.求下列极限,60,61,62,63,问题(四): 极限、连续问题中常数的确定,运算依据:,64,解:左边(分子有理化)=,65,运算依据:,66,67,问题(五):函数连续性的判定与间断点的识别,2.判定间断点的类型,找出函数的定义域,若点 无定义,则 为间断点;,若有定义,再看 是否为初等函数定义区间内的点,若,68,是, 则为连续点;若不是,则看极限 是否存在,若不存在,则 为间断点;若存在,则看极限值是否等于函,数值,若,则 为连续点;若不相等,则,点 为间断点.最后根据间断点的定义判定其类型.,例1.判定下列函数在指定点是否连续?并指出间断点 的类型,69,解:,70,71,72,问题(六):无穷大量与无穷小量的识别与比较,例1.设,73,(A)等价无穷小;