2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版.doc

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一空间向量基本定理思考1平面向量基本定理的内容是什么？答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考2平面向量的基底惟一确定吗？答案不惟一.梳理(1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc(2)基底条件：三个向量a，b，c不共面.结论：a，b，c叫做空间的一个基底.基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量.知识点二空间向量的坐标表示思考1平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点).思考2基底不同，向量的坐标相同吗？答案不同.梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)类型一基底的概念例1若a，b，c是空间的一个基底.试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底？解假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c不共面.此方程组无解.ab，bc，ca不共面.ab，bc，ca可以作为空间的一个基底.反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练1(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()A.2a B.2b C.2a3b D.2a5c(2)以下四个命题中正确的是_.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.答案(1)D(2)解析(2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确.类型二用基底表示向量例2如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量.(1)；(2)；(3)；(4).解连接AC，AD.(1)()()(abc).(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.反思与感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.跟踪训练2如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.解H为OBC的重心，D为BC的中点，()，()(bc).又，()()(abc).，(bc)(abc)a.类型三空间向量的坐标表示例3棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、G分别为棱DD、DC、BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标.(1)，；(2)，.解(1)，.(2)()()，()()，(1，0).引申探究本例中，若以，为基底，试写出，的坐标.解(1，0，)，()(，1，0)，(0，).反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，在基底a，b，c下的坐标为_.答案解析OM2MA，点M在OA上，OMOA，()abc.1.在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底.A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析正确.基底的量必须不共面；正确；不正确.a，b不共线，当cab时，a、b、c共面，故只有正确.2.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A.(12，14，10) B.(10，12，14)C.(14，12，10) D.(4，3，2)答案A解析设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10).3.若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，则，的值分别为_.答案，1，解析d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3，4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知ABAD2，BB11，则的坐标为_，的坐标为_.答案(0，2，1)(2，2，1)解析根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)，则的坐标为(0，2，1)，的坐标为(2，2，1).5.在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)答案abc解析()()abc.1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.40分钟课时作业一、选择题1.以下四个命题中正确的是()A.基底a，b，c中可以有零向量B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C.ABC为直角三角形的充要条件是0D.空间向量的基底只能有一组答案B解析使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是0，可能是0，也可能是0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确.2.下列说法中不正确的是()A.只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B.竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面C.纵坐标为0的向量都共面D.横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直答案A解析单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直.3.若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()A. B. C. D.2答案C解析 对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面.4.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()A. B. C. D.或答案C解析ab且a，b不共线，a，b，共面，与a，b不能构成一组空间基底.5.已知i、j、k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且ijk，则B点的坐标为()A.(1，1，1) B.(i，j，k) C.(1，1，1) D.不确定答案D解析向量的坐标与B点的坐标不同.由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标.6.设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B. C. D.答案A解析如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC中点，()(2)，(2)，33()，()()，故选A.二、填空题7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_，的坐标为_，的坐标为_. 答案(1，0，0)(1，0，1)(1，1，1)解析，.8.a，b，c为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x_，y_，z_.答案000解析若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x0，则abc，a，b，c共面.这与a，b，c是基底矛盾，故xyz0.9.已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.答案3a3b5c解析如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.10.若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，5)，则顶点D的坐标为_.答案(5，13，3)解析由四边形ABCD是平行四边形知，设D(x，y，z)，则(x4，y1，z3)，(1，12，6)，所以，解得，即D点坐标为(5，13，3).三、解答题11.已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2，3，1)，求p在基底a，ab，abc下的坐标.解由已知p2a3bc，设pxay(ab)z(abc)(xyz)a(yz)bzc，则有解得故p在基底a，ab，abc下的坐标为(1，4，1).12.已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标