应力应变分析强度理论.ppt

第五章 应力状态分析与强度理论,Mechanics of Materials,材料力学,51 应力状态的概念 52 平面应力状态分析,53 梁的主应力.主应力迹线的概念,54 空间应力状态的最大应力,55 广义胡克定律,56 空间应力状态的应变能密度,57 强度理论概述,第五章 应力状态分析与强度理论,58 四种常用的强度理论,5-1 应力状态的概念,一、应力状态的概念,1.低碳钢和铸铁的拉伸与压缩实验,?,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,2.低碳钢和铸铁的扭转实验,结论：构件的破坏不仅在横截面上，也有可能沿其它斜截 面上，故不仅要研究横截面上的应力，也要研究斜 截面上的应力。,同一截面上不同点的应力一般不同;,同一点不同方位截面上的应力亦不同。,3.一点的应力状态,哪一点？ 哪个方向面？,哪一个面上？ 哪一点？,受力构件内一点的不同方位截面上应力情况的集合,称之为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌。,应力状态分析就是研究这些不同方位截面上应力的变化规律。看受力构件上的哪一截面上哪一点在哪一方位上的应力最大，从而找出危险截面上的危险点，并确定该点处的应力及其方向，然后建立强度条件。,二、应力状态的研究方法,1.单元体（Element body）,（2）任意一对平行平面上的应力相等,2.单元体特征,（1）单元体的尺寸无限小，每个面 上应力均匀分布,（3）该单元体的应力状态就代表了一点的应力状态； 单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方 位截面上的应力。,3.普遍状态下的应力表示,5.主平面(Principal plane) 切应力为零的截面,6.主应力(Principal stress) 主面上的正应力,说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即,4.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体,三、应力状态的分类,1.空间应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零,2.平面应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零,3.单向应力状态 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零,关于应力状态的判定：研究生巧答教授的提问,单向应力状态,回答：仅有一个主应力不为零,二向应力状态,回答：仅有一个主应力为零,三向应力状态,回答：没有一个主应力为零,零应力状态,回答： 没有一个 主应力为零,平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx,5-2 平面应力状态分析,一、平面应力状态的解析法,1.任意斜截面上的应力 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象,（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时则为正,（2）正应力仍规定拉应力为正,（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正,2.符号的确定,t,设斜截面的面积为dA , ae的面积为dAcos, af 的面积为dAsin,对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得,t,化简以上两个平衡方程最后得,不难看出,即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数,再次证明了切应力互等定理,3. 最大正应力及方位,最大正应力的方位,令,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.,最大正应力,将 0和 0+90代入公式,得到max和min (主应力）,下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角,（1）当x y 时,0 是x与max之间的夹角,（2）当xy 时,0 是x与min之间的夹角,（3）当x=y 时,0 =45,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来,则确定主应力方向的具体规则如下,若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内,4.最大切应力及方位,最大切应力的方位,令,1 和 1+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.,最大切应力,将1和 1+90代入公式,得到max和min,可见,二、平面应力状态的图解法,将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得,因为x ,y ,xy 皆为已知量，所以上式是一个以,为变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆.,1. 应力圆,圆心的坐标,圆的半径,此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫尔圆（Mohrs circle）,（1）建 - 坐标系,选定比例尺,2. 应力圆作法,作图步骤,o,（2）量取,OA= x,AD = xy,得D点,OB= y,（3）量取,BD= yx,得D点,（4）连接 DD两点的直线与 轴相交于C 点,（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,（1）该圆的圆心C点到 坐标原点的 距离为,（2）该圆半径为,证明：,3.应力圆的应用,（1）求单元体上任一 截面上的应力,从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.,o,20,证明：,.点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.,.夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.,(2)求主应力数值和主平面位置,主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点,其横坐标 为主应力 1,2,主平面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应的主平面的外法线,0 确定后,1 对应的主平面方位即确定,（3）求最大切应力,G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,因为最大最小切应力等于应力圆的半径,解法1解析法：分析建立坐标系如图,例5-1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与s 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,例5-2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,应力状态与应变状态,O,破坏分析,应力状态与应变状态,铸铁,下图 表示一受任意横向力作用的矩形截面梁, 在横截面 mm上, 分别围绕 1、 2、 3、 4,、5 五点各取出一单元体。 假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。,m,m,53 梁的主应力.主应力迹线,m,m,2,3,x,m,m,3,x,4,m,m,4,5,m,m,将相应的x , x 和 y=0 , y = -x 代入主应力的计算公式得梁内任一点的主应力计算公式,一、梁的主应力计算公式,可见,梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力, 一个为压应力,两者的方向互相垂直。,在梁的 xy 平面内可以绘制两组正交的曲线。一组 曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 1 的方向， 而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 3 的方向,这样的曲线称为梁的主应力迹线 。,二、主应力迹线的概念,y,x,(2) 从1-1上任一点 a 开始,求出该点 处主应力 1 的方向,将这一方向线延长 至 2-2 截面线, 相交于 b 点 , 再求出 b 点处主应力 1 的方向, 延长至 c点。,(1) 按一定的比例画出梁在xy平面的 平面图,画出代表一些横截面位置的等间 距直线 1-1, 2-2 等等,三、主应力迹线的绘制,(4) 按同样的方法可绘得主应力 3 迹线,(3) 依此类推, 就可以画出一条折线, 作一条与此折线相切的曲线, 这一曲线 就是主应力 1 的迹线,上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力1的迹线, 虚线表示主应力3的迹线, 所有的迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置)间的夹角都是45, 在梁的横截面上=0的各点处, 迹线的切线则与梁的轴线平行或正交。,已知受力物体内某一点处三个主应力1, 2, 3,利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.,一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力,5-4 空间应力状态的最大应力,一般的空间应力状态：单元体三对 平面上都有正应力和切应力，且切 应力可分解成沿坐标轴方向两个分 量，独立的应力分量有六个。,首先研究与其中一个主平面 （例如主应力3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力,1,2,2,用截面法,沿求应力的 截面将单元体截为两部分, 取左下部分为研究对象,主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2 决定,与3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示,该应力圆上的点对应于与3 垂直的所有斜截面上的应力,O,与主应力 2 所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力圆上的点来表示,与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力 , 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示,该截面上应力 和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内,abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面,a,b,c,1,2,1,2,3,结论,三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力,该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标1,最大切应力则等于最大的应力圆的半径,最大切应力所在的截面与 2 所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45角.,例5-3 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.,解: 该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z 无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力,由 x , xy 定出 D 点,由 y , yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1 和 3,O, 1 =46MPa, 3 =-26MPa,该单元体的三个主应力, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,一、各向同性材料的广义胡克定律,（1） 正应力:拉应力为正, 压应力为负,1.符号规定,（2） 切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则为正;反之为负,（3） 线应变:以伸长为正, 缩短为负; （4） 切应变:使直角减者为正, 增大者为负.,5-5 广义虎克定律,x 方向的线应变,2.各向同性材料的广义胡克定律,单独存在时,单独存在时,单独存在时,对各向同性材料，在小变形及材料的线弹性范围内，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关，线变形与角变形的相互影响可以略去 。这样复杂应力状态，可以看作是三组单向应力和三组纯剪切的组合，其应变分量可由各应力分量引起的应变分量叠加得到。,在 x ,y ,z同时存在时, x 方向的线应变x为,同理,在 x ,y ,z同时存在时, y , z 方向的线应变为,在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为,上式称为广义胡克定律, 沿x,y,z轴的线应变 在xy,yz,zx面上的切应变,对于平面应力状态 （假设z = 0,xz= 0,yz= 0）,3.主应力-主应变的关系,二向应力状态下，设 3 = 0,已知 1,2,3; 1,2,3为主应变,二、各向同性材料的体积应变,构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用表示.,各向同性材料在三向应力状态下的体积应变：,如图所示的单元体,三个边长为 dx , dy , dz,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,dx(1+,dy(1+2 ,dz(1+3,V1=dx(1+ dy(1+2 dz(1+3,体积应变（volumetric strain）为,体积弹性模量,平均主应力,体积胡克定律,单元体的体积应变,1、三向等值应力单元体的体积应变,这两个单元体的体积应变相同,单元体的三个主应变为,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的。,2.纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变 x ,y ,z 有关,仿照上述推导有,在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关.,例5-4 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,由广义胡克定律,例5-5 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：(hoop stress),3、求内压（以应力应变关系求之）,5-6 空间应力状态的应变能密度,应变能密度,用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度,用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度,应变能密度v等于两部分之和,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.,图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.,图 b 所示单元体的体积改变能密度,a单元体的应变能密度为,a所示单元体的体积改变能密度,空间应力状态下单元体的 畸变能密度,例5-6 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的应变能密度为：,纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：,一、强度理论的概念,1.引言, 57 强度理论概述,（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件。,上述强度条件具有如下特点,（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；,对于复杂应力状态， 因 1、2、 3有任意比值，不可能做所有情况的试验。另外，加载也有困难。,2.强度理论的概念,是关于“构件发生强度失效起因”的假说.,强度理论的基本思想是：,确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设；,根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和均方根切应力理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大拉应变理论,二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）,三、四个强度理论,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力；,认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂.,断裂准则：,适用范围：,混合型应力状态中拉应力占主导,与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合,特别适用于拉伸型应力状态：,但,材料的脆断,强度条件：,2、对没有拉应力的应力状态无法应用，,3、对塑性材料的破坏无法解释，,4、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。,1 只突出 未考虑的 影响，,局限性：,2. 最大伸长线应变理论（第二强度理论）,无论处于什么应力状态,只要危险点处最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂,材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变；,断裂准则：,复杂应力状态下最大线伸长应变,断裂准则,相应的强度条件：,单向应力状态下,铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,实验表明：,此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂,较符合,要求材料在脆断前均服从胡克定律,适用范围：,铸铁在混合型应力状态中，压应力占主导引起的材料脆断,与实验结果也较符合；,材料的脆断,局限性：,1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，,2、在二向或三向受拉时，,似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。,它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合；,虽然考虑了 的影响，,但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的 对材料强度的影响规律。,，,混凝土、花岗岩受压时在横向（1方向）开裂,局限性,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,材料发生塑性屈服的主要因素是,最大切应力；,无论处于什么应力状态,只要危险点处最大切应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,屈服准则：,复杂应力状态下的最大切应力,屈服条件,相应的强度条件：,单向应力状态下,此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,适用范围：,偏于安全,常用于载荷往往较不稳定的机械、动力等行业,此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则,塑性屈服,4. 畸变能密度理论（第四强度理论）,材料发生塑性屈服的主要因素是,畸变能密度；,无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。,屈服准则：,复杂应力状态的畸变能密度,单向应力状态下,屈服条件,强度条件,对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。,适用范围：,它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响；,它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；,此准则也称为米