浙江专用高考数学复习第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3函数的奇偶性与周期性讲义含解析.docx

3.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.理解并会判断函数的奇偶性2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa)f(x)(a0)_(2)f(xa)(a0)_(3)f(xa)f(xb)(ab)_提示(1)T2|a|(2)T2|a|(3)T|ab|题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx2，x(10，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(6)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()题组二教材改编2P39A组T6已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3P45B组T4设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.答案1解析ff4221.4.P39A组T6设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5解析由题图可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin2xByx2cosxCy2xDyx2sinx答案D解析对于A，f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，为奇函数；对于B，f(x)(x)2cos(x)x2cosxf(x)，为偶函数；对于C，f(x)2x2xf(x)，为偶函数；对于D，yx2sinx既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)已知函数f(x)，g(x)，则下列结论正确的是()Ah(x)f(x)g(x)是偶函数Bh(x)f(x)g(x)是奇函数Ch(x)f(x)g(x)是奇函数Dh(x)f(x)g(x)是偶函数答案A解析易知h(x)f(x)g(x)的定义域为x|x0因为f(x)g(x)f(x)g(x)，所以h(x)f(x)g(x)是偶函数故选A.题型二函数的周期性及其应用1奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2B1C1D2答案A解析f(x1)为偶函数，f(x1)f(x1)，则f(x)f(x2)，又yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.从而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期为4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.2已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)f(4)因为f(22)，所以f(4)2.故f(2020)2.3若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则ff_.答案解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以ffffffffsin.4定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2019)_.答案338解析f(x6)f(x)，周期T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2015)f(2016)1336.又f(2017)f(1)1，f(2018)f(2)2，f(2019)f(3)1，f(1)f(2)f(3)f(2019)338.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.答案12解析方法一令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212.(2)(2018浙江省镇海中学测试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)12xx2，则函数f(x)的解析式是_答案f(x)解析设x0，则x0，f(x)12xx2f(x)，即x0时，f(x)12xx2，又易知f(0)0，f(x)命题点2求参数问题例3 (1)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.答案1解析f(x)f(x)，xln(x)xln(x)，ln()2x20.lna0，a1.(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_答案10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(lnx)f(2)，则x的取值范围是()A(0，e2) B(e2，)C(e2，) D(e2，e2)答案D解析根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(lnx)f(2)|lnx|2，即2lnx2，解得e2xf(2x1)成立的x的取值范围为_答案解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x0B减函数且f(x)0D增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0时，x0，f(x)f(x)ex1x，f(x)函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题一、函数性质的判断例1(1)已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0,2)上单调递增Bf(x)在(0,2)上单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)f(x)lnxln(2x)lnx(2x)ln(x22x)设ux22x，x(0,2)，则ux22x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减又ylnu在其定义域上单调递增，f(x)ln(x22x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减选项A，B错误；f(x)lnxln(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，选项C正确；f(2x)f(x)ln(2x)ln xln xln(2x)2ln xln(2x)，不恒为0，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误故选C.(2)(2018浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是()Af(ex)|x|Bf(ex)e2xCf(lnx)lnx2Df(lnx)x答案D解析ex0，f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)无奇偶性，A，B错误；令lnxt，则xet，而f(lnx)lnx2，即f(t)2t，f(x)2x显然不是偶函数，C错误；而f(lnx)x，则f(t)et，即f(x)ex，此时f(x)exexf(x)，f(x)ex是偶函数，D正确，故选D.(3)(2019绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是()A若f(x)是奇函数，则f(f(x)也是奇函数B若f(x)是周期函数，则f(f(x)也是周期函数C若f(x)是单调递减函数，则f(f(x)也是单调递减函数D若方程f(x)x有实根，则方程f(f(x)x也有实根答案C解析若f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，所以f(f(x)f(f(x)f(f(x)，所以f(f(x)也是奇函数，所以A正确；若T是f(x)的周期，则f(xT)f(x)，所以f(f(xT)f(f(x)，所以f(f(x)也是周期函数，所以B正确；若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)x，则f(f(x)f(x)x是单调递增函数，所以C错误；设x0是方程f(x)x的实根，则f(x0)x0，则f(f(x0)f(x0)x0，即x0是方程f(f(x)x的实根，所以D正确故选C.二、函数性质的综合应用例2(1)(2018全国)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)等于()A50B0C2D50答案C解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)答案D解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0恒成立y1，令y0得ax2(x1)，a1.又由当x1时，y12020a0，得a2021.a的取值范围是1,2021)1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cosx答案B解析函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于()A3BC.D3答案A解析由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.3(2019金华调研)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.ABCD答案D解析由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知正确，故选D.4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f(x)log2(3x1)，则f(2021)等于()A4B2C2Dlog27答案C解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，f(2021)f(45051)f(1)f(1)1，且当x时，f(x)log2(3x1)，f(1)log23(1)12，f(2021)f(1)2.5(2018浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数a满足f(log3a)f(a)2f(1)，则a的取值范围是()A(0,3 B.C.D1,3答案C解析函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上单调递减，故f(x)在(，0上单调递增因为f(log3a)f(a)2f(1)，所以f(log3a)f(log3a)2f(log3a)2f(1)，即f(log3a)f(1)f(1)，所以1log3a1，解得a3，故选C.6已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)7如果函数f(x)x2sinxa的图象过点(，1)且f(t)2，那么a_，f(t)_.答案10解析由已知得f()2sinaa1，所以a1，所以f(x)x2sinx1，而f(t)t2sint12，所以t2sint1，所以f(t)(t)2sin(t)1t2sint1110.8若函数f(x)为奇函数，则a_，f(g(2)_.答案025解析由题意，得af(0)0.设x0，则x0，f(x)x22x1f(x)，g(2x)x22x1，g(2)4，f(g(2)f(4)168125.9已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_.答案2解析函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，f(2)f(0)0，f(1)f(1)f(12)f(1)，f(1)0，fff2，ff(1)2.10(2018宁波十校联考)定义：函数f(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差若定义在区间2b,3b1上的函数f(x)x3ax2(b2)x是奇函数，则ab_，函数f(x)的极差为_答案14解析由f(x)在2b,3b1上为奇函数，所以区间关于原点对称，故2b3b10，b1，又由f(x)f(x)0可求得a0，所以ab1.又f(x)x33x，f(x)3x23，易知f(x)在(2，1)，(1,2)上单调递增，f(x)在(1,1)上单调递减，所以在2,2上的最大值、最小值分别为f(1)f(2)2，f(1)f(2)2，所以极差为4.11设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,412设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)又f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)13(2018浙江杭州四中期中)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设h(x)|f(x1)|g(x1)，则下列结论中正确的是()Ah(x)关于(1,0)对称Bh(x)关于(1,0)对称Ch(x)关于x1对