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第九讲一试真题分析（二）名人名言希尔伯特我们必须知道，我们必将知道这是年希尔伯特（DHilbert,18621943,德国数学家）在科尼斯堡讲演的最后一句话，题为认识自然和逻辑无论从哪个角度看，这都是伟大而有决定意义的诗句，表达了数学家探索数学的决心和信心正如年库朗（R.Courant,19881972,德国数学家）在纪念希尔伯特诞生周年大会上发表的演讲“我确信，希尔伯特那具有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着它的生命力唯有希尔伯特精神，才会引导数学继往开来，不断成功”此外年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为数学问题的演讲他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了个最重要的数学问题这个问题被称为“希尔伯特问题”，称为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响并积极地推动作用希尔伯特是一位正直的数学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的告文明世界书上签字战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布（Darboux，18421917，法国数学家）希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特也于年在孤独中逝世然而，希尔伯特的精神却在历史深处发出永远的回响，那就是他在科尼斯堡演说的最后一句话：我们必须知道，我们必将知道知识点拨一、空间中角和距离的计算1求异面直线所成角：平移法、向量法2求直线与平面所成角：定义法、用法向量3求二面角用定义直接算；面积射影定理：设二面角的大小为（），平面内一个平面图形的面积为，在内的射影图形的面积为，则（当为钝角时取“”）；法向量法4求点到平面的距离直接计算从点到平面所引垂线段的长度；转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离；（体积法）转化为求一个棱锥的高，其中为棱锥体积，为底面面积，为底面上的高在平面上取一点，求与平面的法向量的夹角的余弦，则点到平面的距离为5解题思想与方法空间想象能力；数形结合能力；平几与立几间的相互转化；向量法二、三角函数1三角函数基础公式：诱导公式、积化和差、和差化积、半角公式、万能公式。2有关公式和定理正弦定理、余弦定理； 射影定理：； 面积公式：； 辅助角公式； 若，则。例题精讲【例1】 （2009年全国高中数学联赛）已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 【例2】 （2003年全国高中数学联赛）将个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_【例3】 （2007年全国高中数学联赛）如图，在正四棱锥中，则二面角的平面角的余弦值为（ ）A B C D 【例4】 （2007年全国高中数学联赛）已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于_【例5】 （2004年全国高中数学联赛）顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆的圆心，垂足为，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长是（ ）ABCD【例6】 （2005年全国高中数学联赛）内接于单位圆，三个内角、的平分线延长后分别交此圆于、则的值为（ ）A B C D【例7】 （2003年全国高中数学联赛）若，则的最大值是（ ）ABCD（2007年全国高中数学联赛）已知函数，则的最小值为_【例8】 （2004年全国高中数学联赛）已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为 求； 证明：对于，若， 则大显身手1 （2006年全国高中数学联赛）设，则的值域为_2 （2004年全国高中数学联赛）在平面直角坐标系中，给定两点和，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为_3 （2008年全国高