心修4第1章：三角函数.ppt

各位老师,高 中 数 学 必 修 (四) 第一章 三角函数,三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。在本章中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。主要的学习内容是三角函数的概念、图像与性质及三角函数模型的简单应用。单位圆是研究三角函数的重要工具， 借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想，另外，三角函数作为描述周期现象的重要数学模式，与其它学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。,教 材 说 明,新课标在原教材的基础上缩简（不是删除）了相当多的内容，保留了最基本的最常用的知识，并把这些知识用于实践，解决实际问题。把新课标理念纳入教材，对能力要求提高了。新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还要倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。 同时，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。新课标力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的创造意识。,1 任意角和弧度制,教学目标 1.通过对生活中相关实例的观察，了解任意角的 概念，体会引入任意角的必要性和实际意义； 2.能够建立适当的坐标系来讨论任意角，并会判断任意角终边在直角坐标系中的位置； 3.了解弧度概念以及用弧度度量角的方法； 4.掌握弧度与角度的换算关系，能进行弧度与角度的互换（可借助计算器）； 5.初步培养学生从数、形方面认识数学概念的意识。,重点：认识根据实际需要拓展数学概念的必要性；了解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算。 难点：对弧度概念的理解；将终边相同的角用集合表示。 课时安排 建议本节3课时： 第1、2课时，任意角概念，象限角、终边相同的角； 第3课时，弧度的概念及角度与弧度的换算。,一.任意角概念的引入,处理一： 突出以下三个环节： 环节1：呈现生活中的实际问题（圆上质点运动的例子），引导学生概括总结原有角概念的局限（从旋转方向和周数两个方面认识）。教师可根据自己所教学生的实际，选择贴近学生实际且学生感兴趣的事例，来说明角的概念拓展的必要性.。此环节教学重在使学生体会到数学概念的产生（或发展）都有其内在的必要性，而不是一大堆静态的等待认识的知识点，从而树立起数学学习是一个使认识不断发展、深化的过程，是一个使问题的解决方法不断丰富的过程。,环节2：指出拓展角的概念的必要性，引导学生给角重新下定义，并探讨用不同图形表示不同角（正角、负角及零角），形成对任意角的完整认识。 环节3：考虑在直角坐标系表示任意角，得出象限角及终边相同角的概念.。环节2的设计中，突出了从直观上阐述新概念内涵的特点，使新概念在学生头脑中较易生根。 环节3的设计，主要是为下面学习三角函数的内容作好铺垫，把这块知识放在此处处理，可以化解对“终边相同的角”的学习难点，节省了教学时间.,处理二： 教师引导学生回顾初中所学角的定义后，提出问题：角定义中，射线绕顶点在某一平面内旋转，方向是否确定，旋转量有没有指明必须在一周内？指导学生分组讨论，并要求在现实生活中找到模型，说明原有概念的局限性，得出拓展角的概念的必要性；最后，对照书本定义并要求作出角的图形以形成完整概念。,二.象限角、终边相同的角,关于象限角： （1）引入象限角是为了便于研究三角函数。这一点可以在后继的三角函数定义的教学中体会； （2）象限角的定义是在角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边x轴的非负半轴重合的前提下进行的。若角的终边落在坐标轴上，则该角不属于任何一个象限； （3）引导学生体会在直角坐标系内讨论角的好处。提醒学生，在统一的“标准”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能有效地表现出角的终边位置的“周而复始”的现象，为进一步学习“终边相同的角”打下基础。,关于终边相同的角 （1）要理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，其难点是它们的数学表示，主要是将任意角写成360度的整数（K）倍加的形式。为了突破这一难点，可设置“探究”活动，使学生经历由具体数值到一般k值的抽象过程； （2）以某一具体角（如40度）为例，利用信息技术，在平面内建立适当的坐标系，画出该角，同时，按40度的整数倍旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何（图形）表示和代数（符号）表示相结合。为了使学生更好地归纳一般形式，可在这个过程上让学生进行操作、思考与讨论。最好能由学生得出共同认识：k为整数；是任意角；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360度的整数倍。,典 型 例 题,例1：在0360度之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是哪个象限的角.,学习本例关键：突出计算手段，体会用代数的方法（用去除 所给定的角，使商为整数，余数在给定的范围内）在确定角终边的位置中的作用。 学习本例意义：明确直角坐标系是我们认识任意角的重要工具；借助计算判断角终边位置是一种快捷而高效的方法；此例准确熟练地解答，可以帮助我们打好学习三角函数的基础，更好地体会其周期性。,例2 终边在某一直线上（往往是特殊的位置）的角的集合，如写出终边在x轴（轴，第一和第三象限的平分线）上的角的集合. 学习本例关键：一方面要注意角的终边是射线而不是直线，另一方面要将几何语言“在某直线上转化为代数语言“与某角终边相同”，还要注意对终边在某一直线上的角集合的统一表达式的获得过程的学习与理解。,三.弧度的引入,处理方式： 把学生分成若干小组，老师指出，我们已会用图形表示一个角，并会用度来表示角的大小，但是否思考过下面的问题： 1度的角是如何规定的（学生的学习基础是知道周角为360度）？ 用一个圆心角所对的弧长来度量一个圆心角的大小（先不分正负）是否可行？同一个圆心角在半径不等的圆中所对的弧长相等吗？ 用一个圆的半径来度量该圆一个圆心角的大小是否可行？其值会不会由于圆半径的变化而变化？ 如何定义圆心角的大小？说明这种度量的科学性及好处. 要求学生分组讨论以上问题（注意小组成员的分工合作），写出结果，在班级内交流结果，师生共同确定答案。,需要说明的是：要注意能否有效组织小组合作学习；老师用“谈话法”时，避免放任自流，要体现出教师在问题设计及促进学生积极方面的作用；注意课堂交流能力的培养，使学生在不断的交流，逐渐明晰自己的思路. 必要时，教师需从以上三个方面提前加以相关理论学习。 注意：弧度的定义与半径无关，这是因为圆自身的相似性，即无论半径多少，所有的圆均相似。,四.角度与弧度的互化,学习关键：抓住关系式： 掌握要领：熟悉特殊角的角度与弧度的互化。 有效手段：利用计算器加强弧度与度的转换，缩短对弧度度量角的感知时间，尽快习惯用弧度度量角。,2 任意角的三角函数,教学目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.会将任意角的正弦值、余弦值、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；并关注它们是如何随角的变化而变化的； 3.初步了解三角函数的概念，通过讨论三角函数的一般性质加深对函数一般概念的理解； 4.能根据三角函数定义或三角函数线判断三角函数值在各个象限的符号；,5.理解终边相同角的三角函数值相同的含义，初步感知周期性； 6.理解同角三角函数的两个基本关系式；会利用同角三角函数的基本关系式进行简单三角函数式的化简、求值及恒等式证明； 7.进一步体会数形结合思想学习数学概念、拓展原有概念得到新概念的方法，通过认知冲突，初步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。,教学重点、难点,重点：借助单位圆理解任意角三角函数的概念，初步认识三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，由三角函数定义式结合单位圆导出同角三角函数的两个基本关系式，并会应用它求值、化简及证明。,难点：任意角的正弦、余弦、正切函数定义及其在单位圆上的几何表示（正确作出各三角函数线）。难点产生的主要原因是学生没有认识到锐角三角函数定义的实质是用线段长度比来定义三角函数值的大小，而把学习注意力放在直角三角形上，因此，不能顺利实现由长度比推广到数量比的跨越；另外，还不习惯用几何图形（有向线段）来表示数量。使学生掌握单位圆的概念，了解有向线段的数量的正负与坐标轴的正负方向之间的对应关系，以及这三种有向线段与三种三角函数值之间的对应，则是克服这一难点的关键.根据三角函数值在各个象限的符号，恰当地分类是解决难点的关键。 应用平方关系式求三角函数值，结果需要讨论，也是学习中的一个难点。,课时安排,建议本节3课时： 第1课时，任意三角函数定义； 第2课时，三角函数值符号及终边相同的三角函数值之间关系； 第3课时，同角三角函数的基本关系式。,一.三角函数的定义,处理1 教师先介绍三角函数用于描述周期性运动变化规律的实例，使学生认识到建立（任意角）三角函数概念的必要性，然后引导学生回顾初中所学三角函数概念的定义，共同分析定义用来描述实际问题的局限，然后师生共同探讨如何将三角函数概念在直角坐标系中进行推广，即将原来的锐角对应边（长度）的比值，推广为任意角的终边上点的坐标及有关数量的比值。,处理2 引入单位圆概念，直接用单位圆上点的坐标来定义三角函数。然后把三角函数的一般定义作为思考题留给学有余力的学生课后探讨。不过教学中应当向学生指出，三角函数定义中，是一个任意角，同时它也是一个实数（弧度数），“它的终边与单位圆交于点” ，实际上包含两个对应关系，即实数（弧度）对应于点的纵坐标正弦，实数(弧度) 对应于点的横坐标余弦，认识清楚上述对应关系，是理解三角函数定义的关键。,用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点.其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更加简单明了，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是更好地建立了三角函数的数形结合，使单位圆中的三角函数线与定义的联系更明显；更有利于我们结合直观图形讨论三角函数的定义域及其他的一般性质、同角三角函数的基本关系式、诱导公式等。 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数就可以看成以实数（角的弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。,二.正弦线、余弦线、正切线,正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示。它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段。 如果规定一条线段的其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段就有了从起点指向终点的方向，于是把它叫做有向线段，当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向与数轴的方向相同或相反，分别给它的长度加上正号或负号，就得到此有向线段的数量，它是一个实数.可以用有向线段的数量来表示角的终边与单位圆交点的坐标，从而可以表示角的三角函数。,典 型 例 题,例1 根据几何形式定义（三角函数线）求一个角的三角函数值。 需要先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标,再由三角函数线定义得解。这道题的目的是为了巩固任意角三角函数的几何定义。,本例主要是为了突出在寻找解决问题突破口时，三角函数线在代数关系转化为直观几何图形过程中的作用。,三.三角函数值符号,在给出了三角函数的定义后，可设置“探究”活动，留给学生主动学习的空间，引导学生通过自己的思维活动得出结论。这个“探究”不难，可以由学生独立完成。建议把此部分作为定义的数形结合应用，尤其要重视单位圆在确定三角函数值符号中的作用，深化对定义的理解。不过，在得出结论后，要要求学生借助坐标系记住结论。,四.终边相同角的三角函数值,通过此部分内容学习，再一次突出任意角三角函数定义（几何的或代数的）在解决问题中的作用，突出知识间的相互联系的观点教学中，只需要提出问题：“与任意角终边相同的角有哪些？它们的三角函数值是什么？”即可鼓励学生自己得出结论，并翻译成数学语言（公式一）。,五.同角三角函数基本的基本关系式,建议采用自学辅导式学习方法。以单位圆中的三角函数线作为认知基础，在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形是得出同角三角函数基本关系的关键。利用几何图形从勾股定理中得出同角三角函数的“平方关系”是容易的；随后，在利用代数定义式找到“平方关系”，进而启发找到“商的关系”，或其他更多关系式（不作统一要求）；也可以引导学生结合正切线，利用相似三角形的性质对关系式做出解释。总之，讨论同角三角函数的基本关系时，数形结合思想起着非常重要的作用。 这里，“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立。,典 型 例 题,注：学生对于化简到什么形式往往不清楚，一般来说，要实现函数名称尽量少，角尽可能少，运算尽可能简单（如次数尽量低、分母尽可能不含三角式、尽可能不带根号等），即算到目前所掌握知识不能再算为止。 解答此题的关键是使“代数运算”变简，利用平方关系式使分母有理化是突破口，当然还要注意三角函数在各个象限的符号。,3 三角函数的诱导公式,教学目标 1.借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式； 2.能正确地运用这些公式（可借助计算器）求任意角的三角函数制，并进行一般的三角函数式的简化和证明； 3.经历由几何直观探讨数量关系式的学习过程，培养抽象概括能力。,教学重点、难点,诱导公式是学生已学过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展,在本章中起着承上启下的作用。 求三角函数值是三角函数的重要内容,诱导公式是求三角函数的基本方法,其重要作用是把求任意角的三角函数值的问题转化为求角的三角函数值问题。 诱导公式的推导过程,体现了数形结合和化归的思想方法，对发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大意义。 同以往教材相比,新课标把的诱导公式放在了突出位置,教学时要突出其在变换三角函数名称方面的作用.该环节内容主要包扩由实际计算的需要提出学习诱导公式的必要性;在单位圆中,对所讨论角与终边位置关系特点的讨论，及其在单位圆中三角函数线的表示，得出数量关系即公式；探讨几组公式共同特点，进行加工记忆；最后是应用公式解相关问题。 注意在公式的整个学习过程中重视单位圆的作用，避免死记硬背。,课时安排,建议本节2课时: 第1课时,公式的推导； 第2课时,公式的运用。,诱导公式的推导处理方式：,环节1：创设问题情竟，引导学生观察、联想,导入课题.此环节可通过提问的方式，复习三角函数定义及诱导公式(一),并指出诱导公式(一)的结构特征及作用;然后通过两个练习题引入新课题,如求 及 这样的三角函数值。,环节：明确结论、掌握方法、强化能力。此环节师生共同得出数量关系式,可要求学生写出书面结果在班内汇报,注意讲清探索思路,结果特点.教师可总结整个公式推倒的过程,进一步使学生知识系统化,发现规律和特征,深化对诱导公式内涵及实质的理解.可设计一组应用的练习题和思考题。,二.公式的运用,公式的运用主要在以下方面： 1.求任意角的三角函数值： 利用本章基本运算将任意角转化为0度360度的角,然后再应用诱导公式求解。 2.化简或证明： 解题关键：找出题中各角与锐角的关系,转化为可利用公式的形式。,说明：本节的问题有求值、化简、证明三种形式，主要是运用诱导公式进行变形。 由于三角函数式的变形灵活多样，所以合理的运用诱导公式进行三角函数式的变形，对初学诱导公式的学生来说有一定的困难。 教师要注意控制难度,立足新课标的要求进行变式训练.教学时要提醒学生对下列问题引起注意：,4 三角函数的图像与性质,教学重点、难点,重点：用正弦线画出正弦函数图像的方法，正弦、余弦函数图像形状及在 上的主要性质（包括定义域、最大和最小值、图像与轴交点、周期性等）；深化研究函数性质的思想方法。 难点：利用正弦线画函数 的图像，学生是第一次接触，没有常规列表容易（虽然不精确）操作，学生有畏惧心理，形成学习的困难，教学时要充分利用好单位圆中角与正弦曲线的对应（函数值）关系，梳理好画图顺序，这是克服难点的关键，“五点法”是掌握函数图像的关键。,新课标强调，用单位圆中三角函数线来作函数图像，和代数描点法作图相比，用几何描点法，自变量不仅可以任意取值，而且不需要近似计算，函数值大小直接以有向线段表示，其余均与代数描点法无异，这样在单位圆上，直观地就可预测函数图像形状及性质，周期性也很显然，同时避免了近似计算造成的不精确，教学中应讲清这种画法与代数描点法本质相同的地方以及做法步骤。,课时安排 建议本节4课时： 第1课时，正弦函数的图像与性质； 第2课时，余弦函数的图像与性质及简单应用； 第3课时，正切函数的图像及性质； 第4课时，三角函数的综合练习。,一.正弦函数的图像及性质,处理方式 通过引入实例，如利用单摆做简谐运动的实验引出正弦函数的图像.教学中，可以让学生动手做实验，也可以由教师做演示，目的是希望学生能够对正弦曲线、余弦曲线有一个直观的印象，倒不必要求图像有多么精确。明确研究三角函数图像性质的必要性。,复习正弦函数定义及正弦线作法，指出其定义域；将 内的角的弧度值在直角坐标系的横轴上表示出来（相当于把圆弧展成直线），并将它与单位圆放在同一个坐标系内；在单位圆上任取一个角，找到其在直角坐标系横轴上唯一对应的一个点，在该点处把这个角的正弦值描出来（正弦线平移过来），即得纵坐标。 用此方法作出 的图像；然后结合单位圆分析图像特点作出该函数图像，最后还要在单位圆中认识正弦函数的周期性，并把正弦函数的图像（平移或利用公式一）完整的画出来，再由图像讨论性质。,关于新课标的设计说明,（）为什么不直接用描点法甚至是“五点法”作图？新课标突出周期运动实例（如简谐运动实验）的基础上，先介绍用正弦作比较精确的正弦函数图像的方法，然后引导学生观察图像，确定出五个关键点，从而得到在精确度要求不太高时常用的“五点法”.实际上，在没有作出正弦曲线之前，是无法断定某点是关键点，只有用某种方法做出了图像，才能从图像上观察到某些点是“关键点”。,因此，虽然借助正弦线作图比较麻烦，而且也不太注意理解，但是在开始时用这种方法作图是必需的，教学中应当注意让学生充分理解数学研究问题的方法不是从天而降的，是在已有方法基础上的“再提炼”，鼓励学生进行学习后的反思。 （）坐标系中单位的选取.在用正弦线画正弦函数图像时，正弦函数的自变量一般用弧度制度量，这样才能使自变量与函数值的单位一致。,二.余弦函数的图像和性质,处理 由正弦函数图像，结合诱导公式，通过图像变换，就可以得出余弦曲线，这样处理，可以加强正弦函数与余弦函数的联系，给学生提供通过图像变换作出函数的机会，渗透数形结合思想，也可以使学生体会转化的思想，教学中应注重体会新课标的意图，让学生独立思考，通过自己的探究得出余弦曲线，实际上，由正余弦函数之间的内在联系,即通过 图像变换是不难得到余弦函数图像的. 然后根据图像分析性质，找出关键点，并总结“五点法”作图方法；仿正弦函数探讨余弦函数的性质；随后应用“五点法”作与正弦、余弦函数有关的函数的图像 （如 等在闭区间 上的图像）.,处理2 学生可以由正弦函数图像作法，尝试独立用余弦线作出余弦函数图像，教师提醒学生注意余弦线与正弦线的不同，找到正确描点方法；并探讨函数性质；总结“五点法”作简图方法，并进行简单运用。 “五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法。,关于正弦函数和余弦函数性质的说明,新课标要求体会周期变化的规律，在指导学生学习时，可放弃抽象概念，从函数图像上（或结合单位圆）来认识.对学有余力的同学可组织一次课外学习活动（不作统一要求）：从诱导公式一开始（令k取1），结合奇偶性的定义探讨周期函数的定义，还可以进一步探讨最小正周期的概念及在具有周期性的函数学习中的意义，以提升学生的抽象思维能力。可结合单位圆讨论正弦函数和余弦函数的性质。,关 于 其 他 性 质,对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质，根据正弦函数、余弦函数图像，可以直观地看出这两个函数的奇偶性单调性、最大（小）值等性质，这部分证明可以让学生自己完成。 正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图像观察，不要求证明.要注意引导学生根据函数图像以及增（减）函数定义进行描述，可以先选择一个恰当的区间（这个区间长为一个周期，且只有一个单增区间和一个单减区间），对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.余弦函数的单调性也是如此。 正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个结论。 对于取最大（小）值时的自变量x的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳。,三.正切函数的图像和性质,处理 仿正比函数图像作法，用正切线先作函数图像，再在单位圆中，利用正切线观察得到其周期性，得到正切函数数在其余单调区间上的图像。 值得强调的是：在作图像之前一定要分析确定其定义域，并从定义式和正切线两个方面确定自变量趋近于正负时，函数值变化规律。,处理 把学生已经有的研究正弦函数，余弦函数的性质的经验，迁移到对正切函数性质的研究中，提出问题引导学生根据前面的经验（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）研究正切函数的性质，然后再根据性质研究正切函数的图像。,关于图像和性质的教学要点,对正切函数的周期性.可从两面方面说明：先由图像说明，正切函数是周期为 的周期函数；然后回顾诱导公式，得出这上结论。 如果采取先研究正切函数的性质，后研究图像的，可以采取用单位圆上的正切线来研究单调性和值域，这可以让学生再次体会单位圆在研究三角函数时的作用。 关于正切函数的图像.正切函数的图像是不连续的，有无数多个间断点，也有无数多条相互平行的渐近线。,5-6 函数的图像及三角函数的 简 单 应 用,教学重点难点,重点：对 函数图像的认识及运用