《数字仿真的实现》PPT课件.ppt

控制系统数字仿真与CAD 控制系统数字仿真的实现,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统常见的典型结构形式 ：,SISO,SISO feedforward,SISO feedback,MIMO,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的典型环节：,比例环节,惯性环节,惯性比例环节,积分环节,积分比例环节,二阶振荡环节,高阶线性环节,控制系统的结构及其拓扑描述,控制系统的连接矩阵：,根据图中 u i 、y i拓扑连接关系，可逐个写出每个环节输入u i 受哪些环节输出y i 的制约和影响。,控制系统的结构及其拓扑描述,W 称为联接矩阵 W0 称为输入联接矩阵 u = u1 ，u2 ， , un y = y1 ，y2 ， , yn ,仔细研究联接矩阵W ，可从其元素值直接看出各环节之间联接情况。 w i j = 0, 环节j不与环节i相连； w i j 0, 环节j与环节i有连接关系； w i j 0, 环节j与环节i直接相连 ( w i j = 1 ) 或通过比例系数相连 ( w i j为任意正实数 ) ； w i j 0, 环节j与环节i直接负反馈相连 ( w i j = 1 ) 或通过比例系数负反馈相连 ( w i j 为任意负实数 ) ； 特殊地：w i i 0, 环节 i 单位自反馈 ( w i i = 1或w i i = 1 ) 或通过比例系数自反馈 ( w i i 为任意实数 ) ；,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,控制系统最常见的典型闭环系统结构,系统的开环传递函数 G ( s ) ，可按照能控标准型写出其开环状态方程：,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,控制量,由,再由：y= CX,其中：A b = A bVC,仿真模型一旦确立，就可以着手考虑求解与编程实现,知： f ( t , X ) = A b X + b r,为对应n个状态变量,面向系统结构的数字仿真,典型闭环系统的数字仿真：,最后，再由：,求得t k + 1 时刻状态 X k + 1 ， 立即可得输出相应时刻值： y k + 1 = C X k + 1,构成一个完整的仿真程序，必须至少建立： 1.输入数据块 2.初始化块 3.运行计算块 4.输出结果块,例4-1求图4-8所示系统的阶跃响应 y (t) 数值解：,解：该系统结构形式为典型闭环控制系统，用sp4_1.m求解过程如下： 取开环放大系数k = 1 ，反馈系数 v = 1 (单位反馈系统)，阶跃输入幅值r = 1； 利用conv ( )卷积函数功能，先将系统开环传递函数G ( s ) 化为 式 (2 4 ) 传递函数形式的分母 、分子多项式系数向量： a 0 , a 1 , , a n 和 b 0 , b 1 , , bm ； 设系统状态向量初值 x1 0 , x2 0 , , x n 0 均为零； 系统运行参数n 0 = 4 , t 0 = 0 , t f = 10 , h 0 = 0.25； 按以上步骤和参数，在MATLAB语言环境下，输入命令语句,面向系统结构的数字仿真,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,复杂联接的闭环系统结构图计算机仿真的基本思路是： 与实际系统的结构图相对应，在计算机程序中也应构出方便表示各实际环节的典型环节，并将环节之间的联接关系输入计算机，由计算机程序自动形成闭环状态方程，运用数值积分方法求解响应。,常见环节完全可用一个通用一阶环节,设： 输入向量U = u 1 , u 2 , . . , u n T ； 其中各分量表示各环节输入量 输出向量Y = y 1 , y 2 , . . , y n T； 各 分量表示各环节输出量。,模型参数阵：,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,于是系统中所有环节输出、输入关系统一用矩阵表示如下：( A + B s ) Y = ( C + D s ) U,各环节输入ui与输出yi有以下关系：,(4-6),复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,整理为矩阵形式：,U = W Y + W0 y0,其中：,将式(4-7)代入式(4-6)，则： ( A + B s ) Y = ( C + D s ) ( W Y + W y0 ) 整理，得： ( B D W ) sY = ( C W A ) Y + C W0 y0 + D W0 s y0 简洁表达为： Q sY = R Y + V1 y0 + V2 s y0 其中： Q = B D W R = C W A V1 = C W0 V2 = D W0 若Q 阵逆存在，则式(4-9)两边同时左乘Q 1 ，得： sY = Q 1 R Y + Q 1 V1 y0 + Q 1 V 2 s y0 两边反拉氏变换，求得系统闭环状态方程时域表达式：,A b = Q 1 R ; b 1 = Q 1 V 1 ； b 2 = Q 1 V 2 为闭环系统的系数阵和输入阵,(4-7),(4-9),(4-8),复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,建立该系统仿真模型中应注意两点：, 保证Q 阵有逆。, 去掉 项,仿真程序框图与实现,(1) 系统参数输入方法,(2) 联接矩阵输入方法,复杂连接的闭环系统数字仿真：,面向系统结构的数字仿真,程序框图,通常可按以下经验数据选择四阶龙格库塔法的定步长值：,为系统开环频率特性的剪切频率,或,t r 为系统阶跃响应的上升时间,ts为系统阶跃响应的调节时间（过渡过程时间）,h0的选取应小于系统中最小时间常数的两倍，即： h02,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,设连续系统状态方程为,其中,为状态初始值.,则由现代控制理论基础知，状态变量X(t)的解为,其中：(t)为状态转移矩阵,当状态方程为线性定常时，(t)为矩阵指数形式：,或： e A t = L-1( s I A ) 1 ,于是：,连续系统状态解中，当 t = k T 时，上式成为,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,而 t = ( k + 1 )T 时，可表为,所以： X(k+1)T ) = ( T ) X ( k T ) + m ( T ) u ( kT ) 是典型的离散系统一阶差分方程组。 其中： ( T ) = e A T , 为t = T 时的状态转移矩阵,X k + 1 = ( T ) X k +m ( T ) u k,数值求解递推公式：,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,若希望递推公式精度更高些，应该考虑到在两次采样时刻kT 、(k+1)T 之间 u ()一直在变化，用一阶保持器近似更为合理，如图,将 u () 表为随 u k ( ) 变化的函数： u ( ) = u ( kT ) + u k ( ) 而 u k ( ) 又可用下式近似表达：,于是代入式(4-11)中积分项重新推导,其中：,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,利用式(4-14)就可以编程进行对某连续系统的仿真运算了。事先应离线求取, ( t ) = e A t,再令阵中 t = T ,立即得离散化矩阵( T ) 、m ( T )、j ( T ),若已知连续系统状态方程各阵模型参数 (A、B、C、D) 以及采样周期T，则语句： F ，G = c2d ( A , B , T ) 返回的矩阵F 、G 就是所要求的( T ) 、m ( T ) 。 如果考虑精度高一些的、输入加了一阶保持器的算法，则在求得F 、G 后，再用一条组合语句： H = ( ( inv ( A ) ) 2 ) * ( F eye (n) ) * B T * B ； 得到的矩阵H 就是所要求的j ( T ) 。语句中所用的求取公式为： j ( T ) = A 2 ( T ) I B TB,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,语句调用格式如下： Ad ,Bd ,Cd ,Dd =c2dm( A , B , C , D , T , 选项 ) ； 与其它转换方式类似地，语句： A , B = d2c ( F ,G , T ) ； A , B , C , D =d2cm( Ad , Bd , Cd , Dd，T , 选项 ),典型环节状态方程的离散化,下面考虑如何把典型环节连续模型化为离散模型，使离散化仿真模型也能面向复杂连接系统的结构图,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,按离散化步骤，应有：,其中：, 积分环节：,A = 0 ，B = 1 ，C = K ，D = 0,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,所以,状态与输出递推式为：, 积分比例环节：,A = 0 ，B = 1 ，C = K ，D = bK,由于A，B，C均与 相同，故(T ) 、m (T ) 、j ( T ) 和 c 与 完全相同，相应状态方程也完全相同。,但因D0，只有d 不同，所以应注意输出方程成为： y k + 1 = x k + 1 + K b u k + 1,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,离散化环节参数表,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,按环节离散化数字仿真程序与实现,典型环节数据输入后，首先判断A是否为0，即可分出 、 和 、 两组，这两组对应的状态方程离散化系数 (T) 、m (T ) 和j (T ) 求取方法各自相同，可以直接套用相同求解公式求取后存入相应单元。但由于对应输出方程各有不同，故又需判断D是否为0，从而对输出方程离散化系数c 、d加以修正后，也存入相应单元。 各环节离散化系数求得后，结果存入相应数组单元FI(I)、FIM(I)、FIJ(I)、FIC(I)以及FID(I)，其中：I表示环节序号。仿真运行时从各环节相应单元取出，分别求取各环节状态与输出即可。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,求 t = ( k + 1 ) T 时刻的各环节状态 X k + 1 的递推计算式中要用到 u k 、,而求 t = ( k + 1 ) T 时刻的各环节输出Y k + 1 的递推计算式中还要用到 u k + 1, u k 可通过联接矩阵直接求得，即：Uk = W Yk +W 0 y 0, 利用近似表达式求取, u k + 1 利用上面已求得的Uk 、,在一个步长h内按一阶保持近似关系求取。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,非线性系统的数字仿真,饱和非线性,2.死区非线性,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,3.滞环非线性,4.继电非线性,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,非线性特征的判断,利用按环节离散化的仿真程序，在输入数据时，设立非线性标志向量： Z = z 1 , z 2 , , z n ,Z (i) = 0 线性环节 Z (i) = 1 线性环节前有饱和非线性，应修正U (i) Z (i) = 2 线性环节前有死区非线性，应修正U (i) Z (i) = 3 线性环节前有滞环非线性，应修正U (i) Z (i) = 4 线性环节后有饱和非线性，应修正Y (i) Z (i) = 5 线性环节后有死区非线性，应修正Y (i) Z (i) = 6 线性环节后有滞环非线性，应修正Y (i),环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,程序功能扩展,1.求得uk 后，由 Z(i)判断各环节入口有否非线性。若有，则根据标志值确定类型，转相应处理程序，修正uk 值； 2.求得yk+1 后，再由 Z(i)判断各环节出口有否非线性。若有，则根据标志值确定类型，转相应处理程序，修正yk+1 值； 3.各种非线性特性按前节给出的程序，自定义为函数形式，以函数文件格式存储起来，由主程序在运行时调用。,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,例42控制系统如图429 所示,设输入阶跃函数幅值Y 0 = 10 , 滞环非线性参数s 4 = 1 (滞环宽度) 不考虑非线性环节影响时，求解y(t)的阶跃响应； 考虑非线性环节影响，其余参数不变，求解y(t)并与线性情况所得结果比较。,解： 先将环节编号标入图4-29 中； MATLAB命令窗口下(以下语句前符号“”即表示MATLAB命令窗口环境)，按编号依次将环节参数输入P阵,环节的离散化与非线性系统的数字方真,连续系统的离散化模型：,图430 例42控制系统输出y4响应曲线, 按各环节相对位置和联接关系，有联接矩阵如下：, 各环节初始值, 由于不考虑非线性影响，则非线性标志向量和参数向量均应赋零值, 输入运行参数；开环截止频率c 约为1 ，故计算步距h取经验公式值, 运行sp4_4.m求解环节输出y4数值解数据和响应曲线,主要内容,计算机控制系统的数字仿真,控制系统的结构及其拓扑描述,面向系统结构的数字仿真,环节的离散化与非线性系统的数字方真,计算机控制系统的数字仿真,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,对采样信号的描述Z变换法,设连续信号为x ( t ) ，则在复频域可用拉氏变换描述为： X ( s ) = L x ( t ) 当 x ( t ) 经采样成为脉冲信号x* ( t ) 后，由下式描述：,对其拉氏变换，得：,令： z = e T s 则定义：,为 x ( t ) 的Z变换函数，写作： X ( z ) = Z x ( t ) ,成为关于算子z的多项式形式，适用于描述采样信号 x* ( t ) 在采样时刻t = kT 的变化情况。,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,采样时刻之间信号变化的描述扩展Z变换法,设控制对象传递函数为G ( s ) ，其脉冲响应函数为g ( t ) ，则按扩展Z变换定义有： G ( z ,) = Z g ( kT +T ) = Z G ( s ) eTs 0 1,由上式继续推导可得： G ( z , m ) = Z g ( k + m ) T T ) = Z g ( k T ( 1 m ) T ) = Z g ( k T T ) = Z g ( t ) e Ts 0 1,扩展Z变换的求取方法与普通Z变换相同，典型函数的扩展Z变换通过查表方式求取更为方便。一般情况可用极点留数法：,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,对离散(采样)信号相互作用的描述差分方程,差分方程的一般形式表述如下： y(k)+a1y(k-1)+any(k-n)=b0u(k)+b1u(k-1)+bmu(k-m) (nm),往往为求解方便，高阶差分方程也表为状态方程形式。单输入-单输出情况下，状态方程一般形式为：,两边求零初始条件下的Z变换，可得： Y ( z ) + a 1 z - 1 Y ( z ) + + a n z - n Y ( z ) = b 0 U ( z ) + b 1 z - 1 U ( z ) + + b m z - m U ( z ),( n m ),计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的数学描述：,采样系统数学描述的相互转换,当采样系统分别表为： Z传递函数分子、分母系数向量形式： ( numd , dend ) = ( b 0 , b 1 , , b m , 1 , a 1 , , a n ) 零极点增益向量形式： ( Zd , Pd , Kd ) = ( z d 1 , , z d m , p d 1 , , p d n , K d ) 部分分式向量形式： ( Rd , Pd , hd ) = ( r d 1 , , r d n , p d 1 , , p d n , h d ) 还有离散状态方程各系数矩阵形式： ( Ad , Bd , Cd , Dd ),几种形式之间均可利用MATLAB语言控制系统工具箱中的数学模型转换函数tf2ss( )、tf2zp( )、ss2tf( )、ss2zp( )、zp2tf( )、zp2ss( ) 以及residue( )等作相互转换,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,差分方程递推求解法,已知：,，则：U ( z ) = D ( z ) E ( z ),当 D ( z ) 形如：,很方便得到： (1 + c1 z - 1 + + c l z - l ) U ( z ) = ( d 0 + d 1 z - 1 + + d r z - r) E ( z ) Z反变换，并整理得到递推式： u k = - c 1 u k - 1 - - c l u k - l + d 0 e k + d 1 e k - 1 + + d r e k - r 相当于一个多步法递推算式，只要u k 和e k 的前若干步值已知，就可以递推得到 uk 。,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,同样，已知：,容易求出：,也能得到： yk = - a 1 y k - 1 - - a n y k - n + b 0 u k + b 1 u k - 1 + + b m u k - m 再考虑： e k = r k - y k 就能按信号传递过程，从参考输入r k 开始，逐步求得各部分解e k 、u k 和输出y k 。,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,连续部分按环节离散化方法,当系统连续部分较复杂时，不必去化简和求取G (z) ，而按照连续系统环节离散化仿真方法，将连续部分中各环节离散化处理后，与采样部分一并考虑进行仿真。,连续部分各环节之间虚设采样开关和保持器，按环节离散化方法建立模型，应取数量级小于采样周期T较多的仿真步距h，才能很好地反映出连续系统在离散信号每隔周期T作用下，各环节在T内的细微变化,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统的仿真方法：,控制器设计为连续系统环节D (s),样系统的控制器有时设计为连续系统环节形式，其传递函数为D (s) 。但其发生作用又是每相隔一个采样周期 T才经采样开关传递给控制对象连续部分。在T时刻内，D (s) 、G0 (s) 同时都在按照自己规律连续变化,对这类系统仿真，要顾及到两部分连续系统各环节D (s) 、G0 (s)各自的实际变化过程，对两部分都应正确地通过仿真得到准确的结果，并在每采样周期T到来时，将变化结果及时传递到相应环节去,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,高阶差分方程的仿真程序,若采样系统直接给出输入输出闭环Z传递函数G B ( z ) 形式，即：,相应差分方程 ：,y(k) + a1 y(k -1) + + an y(k - n) = b0 u ( k ) + b1 u (k -1) + + bm u (k - m),需求解一组高阶差分方程：,可见，以上算法最终都归结为求解高阶差分方程问题。在计算机上实现高阶差分方程的求解程序，应当注意以下问题： 1.建立向量存储单元,保存和记忆输入u k 、输出y k 前若干时刻的值u k - 1 , , u k - m 和y k - 1 , , y k - n 。 2.每运算一个时刻值后，要及时刷新和摒弃相应的存储单元内容。即：只保留u k 及其前m个时刻的数值，y k 及其前n个时刻的数值，因此，要安排相应的平移操作程序,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,纯滞后环节的处理方法及仿真程序,采样控制系统中常见一些控制对象包含有滞后(延迟)环节。其数学模型：,即 ： y ( t ) = u ( t - ),将y ( t ) 离散化成为 y ( kT ) ，并将滞后时间 常数表为T的函数，则： = ( M 1 + M 2 ) T 其中：M1为整数，M2为(0，1)之间的小数。 于是： y ( kT ) = u kT - ( M 1 + M 2 ) T 简单地有：,计算机控制系统的数字仿真,采样控制系统仿真程序实现：,以下分两种情况讨论：,1.当M2=0时，滞后环节时间常数为采样周期T的整倍数，信号yk 滞后 uk 整 M1个节拍，这在仿真程序中很容易实现。,2.当M20时，滞后环节时间常数不为采样周期T的整倍数，仿真实现要复杂些。从表达式： y ( k ) = u k - ( M1 + M2 ) 看出，y ( k ) 应在