线性代数课件第一章行列式.ppt

教材：,线性代数 吴天毅等 主编 南开大学出版社,教案作者：韩会磊,第一章 行列式, 行列式的定义, 行列式的性质, 克莱姆（Cramer）法则,主要内容：, 行列式按行（列）展开,11 行列式定义,用消元法解二元一次方程组：,一、 二阶和三阶行列式,定义二阶行列式：,主对角线,元素,用消元法解三元线性方程组：,定义三阶行列式：,例,解,例,计算三阶行列式的例子：,对于数码 is 和 it ：,逆序数：一个排列中逆序的个数，,例 求 132 、436512 的逆序数,解,逆序数为偶数的排列称为偶排列，,n 阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,n组成的有序数组,132 是奇排列，,436512 是偶排列。,但 312是偶排列，,634512、436521是奇排列。,（二） 排列与逆序数,大前小后叫逆序(反序),记为：,为奇数的称为奇排列。,可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！,再分析P. 5的表1-1, 一个对换改变排列的奇偶性；, 3!个排列中，奇、偶排列各占一半。,定理1 对换改变排列的奇偶性。,证,（1）设元素 i,j 相邻：, 若 ij ,则新排列增加一个逆序;, 若 ij ,则新排列减少一个逆序。, 改变了奇偶性,（2）设元素 i,j 不相邻：,共作了2s+1次相邻对换，,由（1）知，排列改变了奇偶性。,定理2 n 个数码构成 n! 个n 级排列， 奇偶排列各占一半（ n!/2 个）。,证,设有p 个奇排列，q 个偶排列，,p 个奇排列,p 个偶排列,q 个偶排列,q 个奇排列,（三） n 阶行列式定义,2 阶：,3 阶：,n 阶：,1 阶：,几种特殊行列式：,例,解 由定义，,只有,右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9),类似可得：,特别： 对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10),例,列标按自然顺序排列,n阶行列式的另外两种表示(证明略）：,例,下列元素之积是否为四阶行列式的项？,否，因为第二行有两个元素；,是，因为四个元素取自不同行不同列，,例,解,1.2 行列式的性质,复习：,定义：,的转置行列式,例,证,D的一般项：,它的元素在中位于不同的行不同的列，因而在的转置中位于不同的列不同的行所以这n个元素的乘积在的转置中应为,性质1,所以,由此性质也知：行具有的性质列也同样具有,性质2,交换行列式的两行（列）, 行列式反号。,证,D的一般项：,交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换， 即行标排列中，i和s作了对换，,改变了排列的奇偶性，故反号。,推论： n 阶行列式某两行（列）对应元素全相等， 则行列式等于零。,证,性质3,证,记左边的行列式为D1,有,注： 该性质对列也成立。,推论： n 阶行列式某两行（列）对应元成比例， 则行列式等于零。,证,提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，,由前面的推论知行列式为零。,性质4,注： 该性质对列也成立。,证,左边行列式的一般项为：,可推广到 m 个数的情形。,性质5,（保值变换）,证,例 计算行列式,思路：用保值变换化成三角形行列式,将过程记在行列式符号的右边，用“箭头”表示。,解,为对称行列式,例,例,是反对称行列式,不是反对称行列式,两个重要概念,例,证明奇数阶反对称行列式的值为零。,证,当n为奇数时有,用性质计算行列式,=9,一般地，可以计算,请牢记这种方法，这类题就这种做法。,关于范德蒙行列 式注意以下三点,1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列. 2.结果:可为正可为负可为零. 3.共n(n-1)/2项的乘积.,对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果.,你能识别出范德蒙行列式吗？,你会用范德蒙行列式的结果做题吗？,例：,范德蒙行列式 有几种变形?,行列式按 行（列）展开,主要内容： 1. 代数余子式 2. 展开定理,1.3,n-1阶行列式,Aij= (-1)i+j Mij,aij 的 代数余子式,（一）按某一行（列）展开,定理4,按行展开,按列展开,即：D 等于第 i 行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。,证,（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）,(3),四阶行列式按第三行展开的结果,n阶行列式按第i行展开：,例2 计算行列式,解 按第三列展开,其中：,所以,解2,例 讨论当为何值时,解,所以，当,例4 求证,证,n-1阶,即：第 i 行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。,定理5,证,0=,i 行,s 行,综合定理4，定理5,对于行：,对于列：,克莱姆（Cramer）法则,1.4,其解：,记,讨论 n 个方程、 n 个未知量的线性方程组的解,一、非齐次线性方程组,系数行列式：,用常数项列替换 D 的第 j 列，其余列不变。,记,6,9,11,定理5（克莱姆法则）,证明思路：,所用结果：,4,左,（证b1),( ),满足第1个方程,类似验证第2，n个方程也满足。,是方程组（1）的解。,2 由1知，（1）有解，,a11x1,+a12x2,a1nxn,+,=b1,a21x1,+a22x2,a2nxn,+,=b2,an1x1,+an2x2,annxn,+,=bn,用D的第j列元素的代数余子式乘两边,Anj,A2j,A1j,A1j,这证明了（1）有解。,A1j,A