高考数学第3部分考前增分指导1高考四大数学思想回顾学案文.docx

一、高考四大数学思想回顾1函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.【例1】(1)(2018秦皇岛模拟)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为()A(，0)B(0，)C(，2) D(2，)B构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减又g(0)1，所以1，即g(x)1，解得x0，所以不等式的解集为(0，)故选B.(2)(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.若a3b35，求bn的通项公式；若T321，求S3.解设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(*)由a3b35得2dq26.(*)联立(*)和(*)解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.当q5时，由(*)得d8，则S321.当q4时，由(*)得d1，则S36.方法归纳函数与方程思想在解题中的应用1函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要3解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决对点即时训练1(2017浙江高考)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.52(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.2某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需要新建n个桥墩，(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)x m2m256(0xm)(2)由(1)知，f(x).令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值，此时，n119.故需新建9个桥墩才能使y最小.2数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想.借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助学，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.【例2】已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lg x解的个数是()A5个B7个 C9个D10个C由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数又f(x)lg x，则x(0,10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点，故选C.【例3】已知函数f(x)x3ax2bxc，若f(x)在区间(1,0)上单调递减，则a2b2的取值范围为()A. B. C. D.Cf(x)3x22axb，依题意有f(x)0在区间(1,0)上恒成立，即所以画出可行域，则点(a，b)到原点的距离的最小值为，无最大值，所以a2b2的最小值为.方法归纳数形结合思想在解题中的应用1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式2构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围3构建解析几何模型求最值或范围4如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的有：(1)ykxb中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离(4)导函数f(x0)表示曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率对点即时训练1已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A(1,1)B(0,2)C(0,1) D(0,1C当x2时，f(x)，此时f(x)在2，)上单调递减，且0f(x)1.当x2时，f(x)(x1)3，此时f(x)过点(1,0)，(0，1)，且在(，2)上单调递增当x2时，f(x)1.如图所示作出函数yf(x)的图象，由图可得f(x)在(，2)上单调递增且f(x)1，f(x)在2，)上单调递减且0f(x)1，故当且仅当0k1时，关于x的方程f(x)k有两个不相等的实根，即实数k的取值范围是(0,1)2若不等式4x2logax0对任意x恒成立，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.B由已知4x21时，不成立，当0a1时，如图，只需loga42aa，又0a1，故a.故选B.3分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.【例4】(1)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C. D1，)(2)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_(1)C(2)2或(1)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a0，故f(x)在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减当1a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减14已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 解(1)圆C1的方程x2y26x50可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3,0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，则x0，y0.由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为ytx.将上述方程代入圆C1的方程，化简得(1t2)x26x50.由题意，可得3620(1t2)0(*)，x1x2，所以x0，代入直线l的方程，得y0.因为xy3x0，所以2y.由(*)解得t2，又t20，所以x03.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2y2.(3)由(2)知，曲线C是在区间上的一段圆弧如图，D，E，F(3,0)，直线L过定点G(4,0)联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.令判别式0，解得k，由求根公式解得交点的横坐标为xH，I.由图可知：要使直线L与曲线C只有一个交点，则kkDG，kEGkGH，kGI，即k.增分限时训练(二)(建议用时：60分钟)一、选择题1命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的取值是()A(，1)B(，2)C1 D2C命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.2已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x21的离心率为()A. B.C. D.或D由题意可知，m22816，m4.(1)当m4时，曲线为双曲线x21，此时离心率e.(2)当m4时，曲线为椭圆x21，此时离心率e.3设a1，若对于任意的xa,2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，这时a的取值的集合为()Aa|1a2 Ba|a2Ca|2a3 D2,3B依题意得y，当xa,2a时，y.由题意可知a，a2，即有a2a，又a1，所以a2.故选B.4(2018包头模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在0,2上为增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值为()A8B8C0D4B此函数是周期函数，又是奇函数，且在0,2上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示由图看出，四个交点中，y轴左侧的两个交点的横坐标之和为2(6)12，另两个交点的横坐标之和为224，所以x1x2x3x48.故选B.5已知定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，则不等式f(log2x)2的解集为()A(2，) B.(2，)C.(，) D(，)B因为f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x1x2或0x.故选B.6若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)D因为2x0，所以由2x(xa)1得xa2x，在直角坐标系中，作出函数f(x)xa，g(x)2x在x0时的图象，如图当x0时，g(x)2x1，所以如果存在x0，使2x(xa)1，则有f(0)1，即a1，即a1，所以选D.7(2018蚌埠模拟)已知函数f(x)log2(ax22x3)，若对于任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)k成立，则实数a的取值范围是()A. B.C3，) D(1，)B对于任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)k成立，f(x)值域为R，因此要求yax22x3的函数值能取到一切正数a0时，y2x3符合题意a0时，需即0a.综上，实数a的取值范围是.8已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥侧棱长的最小值为()A2 B2 C2 D4A设正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为x，高为h，由题意知a2h，得a2h32，从而a2，又x2h2a2h2，令g(h)h2，则g(h)2h，当0h2时，g(h)0；当h2时，g(h)0.从而g(h)在h2时有最小值，即g(h)min12.从而x有最小值2，故选A.二、填空题9已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.当a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.10(2018正定模拟)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的焦点，且2|AB|3|BC|，则双曲线E的离心率是_2如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，所以232c，即2b23ac，所以2(c2a2)3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)11过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.如图，易得|，又|1，|2，所以APO30，故APB60，所以|cos 60.12若椭圆y2a2(a0)与连接两点A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数a的取值范围为_易知线段AB的方程为yx1，x1,3，由得a2x22x1，x1,3，a2.又a0，a.故当椭圆与线段AB没有公共点时，实数a的取值范围为.三、解答题13如图311，直三棱柱ABCABC中，ACBC5，AAAB6，D，E分别为AB和BB上的点，且.图311(1)求证：当1时，ABCE；(2)当为何值时，三棱锥ACDE的体积最小，并求出最小体积解(1)证明：1，D，E分别为AB和BB的中点又AAAB，且三棱柱ABCABC为直三棱柱，平行四边形ABBA为正方形，DEAB.ACBC，D为AB的中点，CDAB.CD平面ABBA，CDAB，又CDDED，AB平面CDE.CE平面CDE，ABCE.(2)设BEx，则ADx，DB6x，BE6x.由已知可得C到平面ADE的距离即为ABC的边AB所对应的高h4, VACDEVCADE(S四边形ABBASAADSDBESABE)hh(x26x36)(x3)227(0x6)，当x3，即1时，VACDE有最小值18.14设函数f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(