中考数学第二部分专题综合强化专题复习八二次函数的综合探究（压轴题）课件新人教版

,专题综合强化,第二部分,专题八 二次函数的综合探究(压轴题),特征与方法：抛物线中特殊图形的存在性问题主要包括特殊三角形和特殊四边形存在性的探究，解决此类问题可按照找点求点代点的步骤进行分析思考，首先找到图形中关键点，如顶点、中点等等，再把这些点求出或用抛物线的解析式表示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据几何图形的性质代入得方程(组)，如果求出的解满足题意，结果就存在，否则，就不存在,重点类型 突破,二次函数与特殊图形的存在性探究,【思路点拨】 本题考查待定系数法求函数解析式，配方法求函数的顶点坐标，平行四边形的性质，菱形的判定. (1)根据对称轴、A、B点的坐标，可得方程，根据解方程，可得答案；(2)根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；(3)根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案,如图，抛物线 yax2bx3经过A(1,0)、B(4,0)两点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标,【考查内容】二次函数的综合探究，相似三角形的判定与性质，周长最值问题，等腰三角形与直角三角形的判定,特征与方法：抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或年份，题目新颖，考查的知识点较多，有很浓的初高中衔接的味道，成为了江西省中考数学试题的一道主菜解决此类问题应遵循从特殊到一般的思维方法，也就是从简单情况出发探究抛物线上关键点满足的规律，然后归纳出一般情况,二次函数与规律探究性问题,【例2】 (2017原创)在平面直角坐标系中，有一组有规律的点： A1(0,1)、A2(1,0)、A3(2,1)、A4(3,0)、A5(4,1).依此规律可知， 当n为奇数时，有点An (n1,1)，当n为偶数时，有点An(n1,0) 抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，抛物线Cn经过An，An1，An2. (1)直接写出抛物线Cn的解析式；,(2)若点E(e，f1)、F(e，f2)分别在抛物线C27、C28上，当e29时，请判断A26EF是什么形状的三角形并说明理由； (3)若直线xm分别交x轴、抛物线C2 017、C2 018于点P、M、N，作直线A2 018 M、A2 018 N，当PA2 018M45时，求sinPA2 018N的值,【思路点拨】 本题考查顶点式求抛物线的解析式，勾股定理，锐角三角函数等知识和分类讨论思想、从特殊到一般的归纳思想(1)先在备用图上画出根据顶点式C1，C2，C3，C4的图象，再根据顶点式求出它们的解析式，然后分n为奇数和偶数分别写出Cn的解析式；(2)由(1)的规律可知抛物线C27、C28的解析式应为y27(x27)2, y28(x28)21.则得到点E(29,4)、F(29,0)、A26(25,0)，根据坐标求出角度和线段的长度可得A26EF是等腰直角三角形；(3)分两种情况：在点A2 018(2 017,0)的左侧或右侧，根据三角函数的定义即可得到sinPA2 018N的值,【解答】 (1)根据顶点式容易求出C1，C2，C3，C4的解析式分别为： y1(x1)2 y3(x3)2 y2(x2)21 y4(x4)21 由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点： 当n为奇数时，yn(xn)2； 当n为偶数时，yn(xn)21；,(2)A26EF是等腰直角三角形如图1， 由一般到特殊，可得抛物线C27的解析式为：y27(x27)2，且过点A27，A28，A29 ，抛物线C28的解析式为：y28(x28)21.且过点A28，A29，A30，点E(e，f1)、F(e，f2)分别在抛物线C27、C28上，e29， f1(2927)24，f2(2928)210， 点E(e，f1)、F(e，f2)坐标分别为E(29,4)、F(29,0)； A26的坐标是(25,0)，点F(29,0)与点A30重合， A26A3029254，EF4，且与y轴平行，EF A2690， A26EF是等腰直角三角形；,如图，抛物线yax22ax(a0)位于x轴上方的图象记为F1 ，它与x轴交于P1 、O两点，图象F2与F1关于原点O对称， F2与x轴的另一个交点为P2 ，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F3与F4 ；再将F3与F4 同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F5与F6 ; 按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1 ，F2， ，Fn ，我们把这组图象称为“波浪抛物线”,(1)当a1时， 求图象F1的顶点坐标； 点H(2 017 , 3)_ (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象Fn 的顶点Tn的横坐标为201，则图象Fn 对应的解析式为_，其自变量x的取值范围为_. (2) 设图象Fm、Fm1的顶点分别为Tm 、Tm1 (m为正整数)，x轴上一点Q的坐标为(12 ,0)试探究：当a为何值时，以O、Tm 、Tm1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值 【考查内容】二次函数的综合探究，规律性问题，矩形的判定与性质,不在,y(x201)21,200x202,【解析】(1)当a1时，yx22x(x1)21， F1的顶点是(1,1)； 由知：“波浪抛物线”的y值的取值范围是1y1， 点H(2 017，3)不在“波浪抛物线”上； 由平移知：F2：y(x1)21， F3：y(x3)21， Fn的顶点横坐标是201， Fn的解析式是：y(x201)21， 此时图象与x轴的两个交点坐标是(200,0)、(202,0)， 200x202；,特征与方法：抛物线中的几何变换问题主要包括抛物线的平移、旋转、轴对称、中心对称及位似变换，解决此类问题先弄清变换前后抛物线上关键点的坐标发生了什么变化，再按照找点求点代点的步骤进行分析思考，把这些点求出或用抛物线的解析式表示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据图形的性质得方程(组)，从而解决问题,二次函数与几何变换的综合探究,【思路点拨】 本题考查二次函数的综合探究，图形的旋转，等腰直角三角形的判定，解直角三角形等(1)先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；(2)由BDP为等腰直角三角形，判断出BDPD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；(3)分点P落在x轴和y轴两种情况计算即可,(2016吉安九校联考)已知抛物线C1yax24ax4ab(a0，b0)的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A (1)求点A的坐标； (2)若AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式； (3)现将抛物线C1绕着点P(m,0)旋转180后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值 【考查内容】二次函数的综合探究，旋转的性质，等腰直角三角形的性质,【解析】(1)抛物线C1：yax24ax4ab(a0，b0)经过原点O，04ab，当ax24ax4ab0时，则ax24ax0，解得：x0或4，抛物线与x轴另一交点A坐标是(4,0)； (2)抛物线C1：yax24ax4aba(x2)2b(a0，b0)，(如图1),特征与方法：多条抛物线中的探究问题是前3种类型的再综合，有的是一条抛物线经过几何变换得到一组抛物线，有的是随着题中n的变化得到一组抛物线，再去探究其中的几何图形的性质解决此类问题要善于综合应用前面的方法，将复杂问题转化为简单问题,多条抛物线中的探究问题,【例4】 (2013江西)已知抛物线yn(xan)2an(n为正整数，且0a1a2an)与x轴的交点为An1(bn1,0)和An(bn,0)，当n1时，第1条抛物线y1(xa1)2a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推 (1)求a1，b1的值及抛物线y2的解析式； (2)抛物线y3的顶点坐标为(_，_)；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_，_)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_；,9,9,n2,n2,yx,(3)探究下列结论： 若用An1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An1An； 是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由,【思路点拨】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法，一次函数，解一元二次方程，根与系数关系，勾股定理等知识点(1)因为点A0(0,0)在抛物线y1(xa1)2a1上，可求得a11，则y1(x1)21；令y10，求得A1(2,0)，b12；,再由点A1(2,0)在抛物线y2(xa2)2a2上，求得a24，y2(x4)24.(2)求得y1的顶点坐标(1,1)，y2的顶点坐标(4,4)，y3的顶点坐标(9,9)，依此类推，yn的顶点坐标为(n2，n2)因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：yx；(3)由A0(0,0)，A1(2,0)，求得A0A12；yn(xn2)2n2，令yn0，求得An1(n2n,0)，An(n2n,0)，所以An1An(n2n)(n2n)2n；设直线解析式为：ykx2k，设直线ykx2k与抛物线yn(xn2)2n2交于E(x1，y1)，F(x2，y2)两点，联立两式得一元二次方程，得到x1x22n2k，x1x2n4n22k.然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2(k21)4n2(1k)k28k，可见当k1时，EF29为定值所以满足条件的直线为：yx2.,【解答】 (1)当n1时，第1条抛物线y1(xa1)2a1与x轴的交点为A0(0,0)，0(0a1)2a1，解得a11或a10. 由已知a10，a11，y1(x1)21.令y10，即(x1)210，解得x0或x2，A1(2,0)，b12.由题意，当n2时，第2条抛物线y2(xa2)2a2经过点A1(2,0)，0(2a2)2a2，解得a21或a24，a11，且已知a2a1， a24，y2(x4)24. a11，b12，y2(x4)24；,(2)抛物线y2(x4)24，令y20，即(x4)240，解得x2或x6. A1(2,0)，A2(6,0)由题意，当n3时，第3条抛物线y3(xa3)2a3经过点A2(6,0)，,0(6a3)2a3，解得a34或a39.a24，且已知a3a2，a39，y3(x9)29. y3的顶点坐标为(9,9) 由y1的顶点坐标(1,1)，y2的顶点坐标(4,4)，y3的顶点坐标(9,9)，依此类推，yn的顶点坐标为(n2，n2) 所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：yx.,(2016江西模拟)已知，如图，将抛物线y1(x1)21，y2(x2)22，y3(x3)23，yn(xn)2n(n为正整数)称为“系列抛物线”，其分别与x轴交于点O，A，B，C，E，F，. (1)抛物线y1的顶点坐标