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山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第五节 函数的连续性,一、函数连续的概念,定义 设函数 的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量 趋于零时,相应的函数值的增量 也趋于零,则称f(x)在点 处 连续。,函数f(x)在点连续的另一种形式的定义 定义 设函数f(x)在点 的某个邻域内有定义,若,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,则称函数f(x)在点 处连续。,左连续,右连续,注:函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续又是右连续。,定义 如果一个函数在某个区间上的每一点都连续,则称这个函数为该区间上的连续函数。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例1 证明函数 在定义域内连续。,证明 设x为函数定义域 上的任意一点,则,因为,所以,因此,在定义域上连续。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例2 讨论函数,在x0处的连续性。,解,左连续,右连续,所以 函数f(x)在x0处连续。,二、函数的间断点,设函数f(x)在点 的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数f(x)在点 不连续。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,(1) 在 处没有定义;,(2) 虽在 处有定义,且 存在,但,(3) 虽在 有定义,但 不存在。,这样的点 称为间断点。,下面举例来说明函数间断点的几种常见类型 例3 函数 在点x2处没有定义,所以x2 是该函数的间断点,但 ,如果,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,补充定义:令x2时,y4,所给函数在x2成为连续,则称x2为该函数的可去间断点。,例4 符号函数 ,当 时,,,左、右极限都存在,但不相等,故 不存在,所以点x0是函数的间断点,则称x0为函数f(x)的跳跃间断点。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例5 函数 在x0没有定义,且,都不存在,则称x0是f(x)第二类间断点。,小结:间断点分两类:如果 是函数f(x)的间断点,但左极限 及右极限 都存在 ,则称 为 f(x)的第一类间断点;在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点。不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,三、连续函数的基本性质,定理1.10 (连续函数的四则运算) 设f(x)、g(x)均在 处连续,则 (1) 处连续; (2) 处连续; (3)若 处连续。,例如 由定理可知 在其定义域上连续。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,定理1.12 (复合函数的连续性)设函数 处连续,函数 在 处连续,且且 则复合函数 处连续。 即,说明 :定理的条件中内函数 在 处连续可以减弱为内函数 在 时极限存在,函数的符号与极限号可以交换次序。即,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例5 求,解,定理1.13 (反函数的连续性)若函数在某区间上是严格单调且连续,则它的反连续在对应的区间上也严格单调且连续。,例如 反三角函数 它们的定义域内都是连续的。,定理1.14 一切初等函数在其定义域内是连续的。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,注:初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的函数值。,例6 求,解,例7 求,分析 :属于 型,先有理化,再求极限。,解,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,四、闭区间上连续函数的性质,定理1.15 (最大值最小值定理) 若函数f(x)在闭区间 上连续,则在 上至少存在两点 ,使对 上一切的x,都有 ,其中 和 分别称为f(x)在 上的最小值和最大值。如图,0,X,y,a,b,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,推论 若函数f(x)在闭区间 上连续,则f(x)在 上必有界。,说明1 :若把推论中的闭区间改为开区间,定理不一定成立。,例如 是(0,1) 内的连续函数,它在(0,1) 内既不能取得最大值,也不能取得最小值。,说明2:若定理及推论中函数f(x)在闭区间有间断点,定理的结论也不一定成立。,例如 函数 在闭区间 上有间,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,断点x0,它取不到最大值和最小值。,定理(介值定理)若函数f(x)在闭区间 上连续,且 ,则对于f(a)与f(b)之间的任意数k,在(a,b)内至少存在一点,说明:如果函数f(x)在闭区间 上连续,则它必定能够取得f(a)与f(b)之间的任意值k 。,0,a b,y,x,k,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,推论(根的存在定理)若f(x)在区间 上连续,且 (即f(a)、f(b)异号),则在(a,b)内少存在一点,闭,至,即方程,在(a,b)内至少有一个,根,说明 :连续的曲线y=f(x)端点在x轴的两侧时,则曲线与x轴至少相交一次。,例9 证明方程 至少有一个根介于1和2之间,。,0,a,b,x,y,山东水利职业学院数理化教研室,应
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