2017_2018学年高中数学第0章圆与方程专题.2.2圆与圆的位置关系.2..doc

4.2.2圆与圆的位置关系 4.2.3直线与圆的方程的应用一、圆与圆的位置关系1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离没有公共点，两圆相切有惟一公共点，两圆相交有两个不同的公共点.2圆与圆位置关系的判断（1）几何法位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0两圆内含两圆相交2两圆内切1两圆外切其中和分别是圆和圆的半径, .（2）代数法联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数210两圆的公共点个数210两圆的位置关系 相离或内含二、直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过 ,解决代数问题;第三步:把 结果“翻译”成几何结论.名师提醒用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成几何结论.K知识参考答案：一、2（2）相交 外切或内切二、坐标和方程 代数运算 代数运算K重点圆与圆位置关系及判定K难点直线与圆的方程的应用K易错两圆的位置关系考虑不全面致错1圆与圆的位置关系及判定判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长，若，两圆外切；时，两圆内切；时，两圆外离；时，两圆内含；时，两圆相交根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.【例1】已知两圆：，判断圆与圆的位置关系.方法二：将两圆的方程联立得到方程组，由得（3），由（3）得，把此式代入（1），并整理得（4），方程(4)的判别式， 所以，方程（4）有两个不相等的实数根,把分别代入方程（3），得到.所以，圆与圆有两个不同的公共点，即两圆的位置关系是相交. 【例2】试分别确定圆C1:与C2:外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.【例3】求与圆外切，且与直线相切于点M(3，)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为，由于该圆与圆外切，则圆心距等于半径之和，故有 .又与直线相切于点M(3，)，则可知圆心与切点的连线与直线垂直，有 ， ，解得.故所求圆的方程为.【名师点睛】明确求圆的方程是标准方程还是一般方程，然后根据几何关系建立方程（组）求得参数的值，从而得出所求的圆的方程. 注意在应用待定系数法时要尽量减少未知量的个数.2两圆的公共弦问题（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数. （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解.【例4】已知两圆和.（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在直线的方程；（3）求公共弦的长度【解析】（1）将两圆方程配方化为标准方程，则圆的圆心为，半径；圆C2的圆心为，半径.又，.，两圆相交（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.（3）方法一：两方程联立，得方程组，两式相减得，把代入得，.，或.交点坐标为和两圆的公共弦长为.方法二：两方程联立，得方程组两式相减得，即为两圆相交弦所在直线的方程；由，得，其圆心为，半径.圆心到直线的距离，两圆的公共弦长为.【例5】已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0相交,圆C过原点O,半径长为,圆心C在已知两圆公共弦所在的直线上,求圆C的方程.【解析】设圆C1与圆C2交于A,B两点,两圆的方程相减,消去二次项得到一个二元一次方程x+3y-10=0,此方程为公共弦AB所在直线的方程.又已知圆C的圆心C在两圆公共弦所在的直线上,即在直线AB上,设C(a,b),则a+3b-10=0,由|CO|=,得a2+b2=10,联立,解得a=1,b=3,所以圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.3与两圆相切有关的问题处理两圆相切问题时，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径长之差的绝对值（内切时）或两圆半径长之和（外切时）. 【例6】已知圆，圆,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.求的方程.【解析】由已知得圆的圆心为,半径长，圆的圆心为,半径长.设动圆的圆心为，半径长为.圆与圆外切并且与圆内切，.由两点间距离公式得，即，两边平方化简得的方程为.4求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解,这样会使运算简洁.过两圆和交点的圆系方程：（其中不含有圆，因此注意检验圆是否满足题意以防漏解）.当时，方程变为，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在;当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线）.【例7】已知圆x2+y2-4x+2y=0,x2+y2-2y-4=0,(1)求过两圆交点的直线方程;(2)求过两圆交点,且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程.5直线与圆的方程的应用求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤：（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； （2）建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；（3）求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）还原：将运算结果还原到实际问题中去.【例8】有一种大型商品,A、B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10公里,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?【解析】以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系,如图所示,设,则.在坐标平面内任取一点,设从运货到地的运费为元/km,则从运货到地运费为元/km.若地居民选择在地购买此商品,则,整理得.即点在圆:的内部.也就是说,圆内的居民应在地购物.同理可推得圆外的居民应在地购物.圆上的居民可随意选择两地之一购物.6两圆的位置关系考虑不全面致错【例9】求半径长为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程.【错解】由题意知，所求圆的圆心为，半径长为4,故可设所求圆的方程为.将圆的方程化为标准方程，得,圆的圆心为，半径长. 由两圆相切，得,解得,所求圆的方程为或.【错因分析】上述错解只考虑了圆心在直线上方的情形，而漏掉了圆心在直线下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的. 【正解】设所求圆的方程为，圆心为.又圆与直线相切且半径长为4，故圆心为或.圆的圆心为,半径长.若两圆相切，则或.作分类讨论：当取时，或(无解),故,此时所求圆的方程为或.当取时，或（无解）,，此时所求圆的方程为或.综上所述，所求圆的方程为或或或.【名师点睛】在解决两圆相切问题时,切记分内切和外切,不要遗漏.1圆与圆的位置关系为A内切 B相交C外切 D相离2已知圆，圆相切，圆心距为10 cm，其中圆的半径为4 cm，则圆的半径为A6 cm或14 cm B10 cmC14 cm D无解3若圆与圆的公共弦的长为，则A2 B1C D4已知是圆上的点，是圆上的点，则的最小值为A4BCD25若圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是Ax+y=0Bx-y=0Cx+y+2=0Dx-y+2=06如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的直径为_米7若圆与圆相交,则实数的取值范围是_.8判断下列两圆的位置关系.（1），；（2），C2：；（3），；（4），.9已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x=0.(1)m=1时,圆C1与圆C2有什么位置关系?(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含?10求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程.11若圆始终平分圆的周长，则，应满足的关系式是A BC D12若集合，且，则a的取值范围是Aa1 Ba5C1a5 Da513已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相切，则动圆圆心的轨迹方程是A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)217或(x5)2(y7)215C(x5)2(y7)29D(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)2914两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，则的值为 .15一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?16若圆：与圆：相外切（1）求的值；（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值17（2016山东）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是A内切B相交C外切 D相离1234511121317BABDDBDDB1【答案】B【解析】两圆的圆心距为，半径分别为，且，所以两圆相交故选B4【答案】D【解析】，圆内含于圆，则|MN|的最小值为.5【答案】D【解析】圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4,故圆心C的坐标为(-2,2).因为圆O与圆C关于直线l对称,所以直线l过OC的中点(-1,1),且垂直于OC,又kOC=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0.故选D.6【答案】13 【解析】设圆心为，半径为，则由勾股定理得，即，解得，所以拱桥的直径为13米7【答案】1a2【解析】由两圆相交得，所以1a2.8【解析】（1），.圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，两圆相交（4），圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，.，两圆相交.9【解析】(1)m=1,两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.两圆的圆心距d=2.又r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,r1-r2dr1+r2,所以圆C1与圆C2相交.(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含,圆C1可化为(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),则d=3-1,即(m+1)21时，集合A和B分别代