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第一章 向量代数 平面与直线, 1.2 1.3 1.4,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,向量的 共线共面 问题,点的 共线共面 问题,向量 的 运算,坐标 的 运算,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示,1.什么叫向量？,2.怎样表示向量？,3.向量有哪些要素？,4.什么是自由向量？,5.什么是一个向量的负向量？,6.什么是零向量？,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,二. 向量的加法,1.平行四边形法则的物理学背景,2.平行四边形法则与三角形法则的等价性,3.向量加法有哪些运算性质？,交换律;,结合律;,存在零向量;,每个向量都有反向量.,阿贝尔群 (Abelian group),第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,三. 向量与数量的乘法,1.定义,注: m = m = 0 或 = .,2.运算性质, (1) = ., 单位向量; 非零向量的单位化., 1 = ;, m(n) = (mn);, (m+n) = m + n;, m(+) = m + m.,向量空间 (vector space),模 (module),例1.设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, AP与BQ交于点M. 证明:,A,B,C,M,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,P,Q,例2.设M是ABC的重心, O是ABC所在平面上 任意一点, 证明:,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,四. 共线、共面向量的判定,1.定义,定理1.1 设向量, 则 向量与共线 存在唯一的实数m使得 = m,推论1.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k11+k22 = ,(即可以由 线性表示).,(即1, 2线性相关).,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,四. 共线、共面向量的判定,定理1.2 若向量, 不平行, 则 向量与, 共面 存在唯一的有序实数组(m, n), 使得 = m + n,推论1.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = ,(即可以由, 线性表示).,(即1, 2, 3线性相关).,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一. 仿射坐标系、直角坐标系,1. 线性表示,(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示., = 2,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一. 仿射坐标系、直角坐标系,1. 线性表示,(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,= k1 + k2,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一. 仿射坐标系、直角坐标系,1. 线性表示,(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,定理1.3 在空间中取定三个不共面的向量1, 2, 3, 则对空间中任一向量都存在唯一的 有序实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,2.仿射坐标系O; 1, 2, 3 ,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标(分量);,坐标平面;,卦限,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,2.仿射坐标系O; 1, 2, 3 ,左手仿射坐标系,3. 直角坐标系O; i, j, k,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,二. 用坐标进行向量的线性运算,设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则,= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1),= (x2x1, y2y1, z2z1).,(k1x1+k2y1, k1x2+k2y2, k1x3+k2y3).,k1+k2 =,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,一. 两个向量的数量积,1. 物理背景.,2. 两个非零向量之间的夹角.,3. 数量积(点积,内积)的定义., = | |cos,(1) 若非零向量与之间的夹角为, 则, = 0.,(2) 若向量 = 或 = , 则,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,注: = 0 ( = 或 = 或与 垂直),4. 内积的性质.,(1)正定性: = |20, 且 = 0 = .,(2)对称性: = .,(3) (m) = m( ) = (m).,(4) (+) = + .,3. 数量积(点积,内积)的定义., = | |cos,(1) 若非零向量与之间的夹角为, 则, = 0.,(2) 若向量 = 或 = , 则,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,注: = 0 ( = 或 = 或与 垂直),4. 内积的性质.,(1)正定性: = |20, 且 = 0 = .,(2)对称性: = .,(3) (m) = m( ) = (m).,(4) (+) = + .,5. 直角坐标系下向量内积的计算.,(1) i2 = j2 = k2 = 1, i j = j k = k i = 0.,(2)设 = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3), 则 = x1y1+x2y2+x3y3.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,6. 模, 夹角, 距离公式,(2)设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为, 则,x1x2+y1y2+z1z2,(3)点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,7. 方向角和方向余弦,(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角; 方向角的余弦称为此 向量的方向余弦.,方向余弦: cos, cos, cos,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,(3)与一个非零向量的方向余弦成比例的三个数 叫做此向量的方向数.,(2)向量xi+yj+zk的方向余弦,cos2 + cos2 + cos2 = 1.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,8. 投影,注: 一个非零向量在一个轴或另一个非零向量 上的投影为标量, 其值可能是正数, 可能是 负数, 也可能为零(取决于).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,二. 两个向量的向量积,1. 物理背景.,2. 向量积(叉积, 外积)的定义.,| | = | | |sin,其中为向量与之间的夹角.,3. 外积的几何意义.,注:向量与共线(平行) = . 特别地, = .,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,4. 外积的性质.,(1)反对称性: = .,(2) (m) = m() = (m).,(3) (+) = + .,例1. 证明( )2+()2 = 2 2.,例2. 已知| = 3, | = 11, 且 = 30. 求| |.,5. 用向量的坐标计算向量的外积.,(1) ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j, ii = jj = kk = .,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,(2)设 = a1i+a2j+a3k, = b1i+b2j+b3k, 则, = (a2b3a3b2)i +(a3b1a1b3)j + (a1b2a2b1)k,(3)二阶行列式.,= adbc., = i + j + k,注:向量 = a1i+a2j+a3k与 = b1i+b2j+b3k共线 (平行) = ,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例3. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,例4. 求同时垂直于向量 = (1, 2, 2)和 = (5, 4, 2)的单位向量.,例5. 已知向量, , 有共 同起点但不共面, 求 以它们为棱的平行 六面体的体积V.,V = (),S = |,h = (),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,三. 三个向量的混合积,1. , , 的混合积: (),V = (),S = |,h = (),2. 几何意义.,设, , 为不共面的三个向量, 将它们平 移到具有共同的起点.若它们符合右手法 则, 则与()在 与 所成平面的同 侧, 于是,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,定理1.4 三个不共面向量, , 混合积() 的绝对值等于以它们为相邻棱所作的 平行六面体的体积V. 当, , 符合右 (或左)手法则时() = V (或V).,推论1.4 三个向量, , 共面的充分必要条件 是它们的混合积() = 0.,注: 轮换对称性.,() = ( ) = () .,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,3. 性质.,(1) (, , ) = 0.,(2) (, , ) = (, , ).,(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ).,(4) (m, , ) = m(, , ), 其中m为一实数.,(5) (, , +m) = (, , ), 其中m为一实数.,注: 结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质. 如(, , ) = 0; (, 1+2, ) = (, 1, ) + (, 2, ); (, m, ) = (, , m) = m(, , ); (, , +m) = (, , ), 等等.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例6.由定理1.3可知, 在空间中任取三个不共面 的, , 后, 空间中任一向量 都可以唯一 地表示成, , 的线性组合, 即存在唯一 的实数组(x, y, z), 使得 = x + y + z. 下面我们去求x, y, z的值.,(, , ) = (x + y + z, , ),= (x, , )+ (y , , )+ (z, , ),= x(, , ).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,4. 用向量的坐标计算向量的混合积.,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),则 = (a2b3a3b2), (a3b1a1b3), (a1b2a2b1),() = (a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,5. 三阶行列式.,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,(1) 定义,(2) 对角线法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,注: 对于向量 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), 和 = (c1, c2, c3), 采用行列式的记号, 我们有,() =, =,推论1.4 三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要条件是,例7. 将混合积的性质翻译成三阶行列式的性质.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程., P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量n = (A, B, C)垂直的平面的方程为,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0.,2. 一般方程.,Ax+By+Cz+D = 0.,定理1.5 平面方程是三元一次方程, 而三元一 次方程必然表示一个平面.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 在特殊位置的平面.,(1)过原点的平面: Ax+By+Cz = 0.,(2)平行于x轴的平面: By+Cz+D = 0.,平行于y轴的平面: Ax+Cz+D = 0.,平行于z轴的平面: Ax+By+D = 0.,(3)平行于xoy面的平面: Cz+D = 0.,平行于yoz面的平面: Ax+D = 0.,平行于xoz面的平面: By+D = 0.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例1. 求通过点P0(1,2,3), 且 (1)通过x轴; (2)平行于yoz平面 的平面方程, 并且分别作出它们的图形.,注: 确定A, B, C, D的值;,作图时应标注一些特殊点, 如与坐标轴 或坐标平面的交点.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,4. 三点式方程.,经过不共线的三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面的方程为,5. 截距式方程.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,二. 空间直线的方程,1. 参数方程.,P,过点P0(x0, y0, z0)且与非零 向量s = (l, m, n)平行的直 线L的参数方程为,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt.,2. 标准(对称)方程.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 一般方程.,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2x+B2y+C2z+D2 = 0,4. 两点式方程.,过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的直线L的 方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2. 求过点(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,解:(法一)直线L0的方向向量s0可取为,= (9, 5, 1).,所求直线L的方向向量s可取为,= (4, 8, 4).,所求直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2. 求过点(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,解:(法二)直线L0的方向向量s0可取为,x 2y + z + 3 = 0,2x 3y 3z 9 = 0,= (9, 5, 1).,过点(7,6,5)且以s0为法向量的平面1为,9(x+7)+5(y6)+1(z5)=0, 即: 9x+5y+z+28=0.,过点(7,6,5)平行于平面0的平面2为,(x+7) + (y6) + (z5) = 0, 即: x+y+z4=0.,故所求直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三. 与直线, 平面有关的一些问题,1. 夹角.,(1) 两条直线的夹角.,注: 夹角的范围: 0 /2., = 0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三. 与直线, 平面有关的一些问题,1. 夹角.,(1) 两条直线的夹角.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(2) 两个平面的夹角.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(3) 直线与平面的夹角., = /2,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(3) 直线与平面的夹角.,例3. 求直线 l:, : x + 2y + z + 1 = 0之间的夹角.,与平面,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,2. 距离.,(1) 点P到直线 l 的距离:,(2) 点P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D = 0 的距离:,L1,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(3) 异面直线之间的距离.,L2,s1,s2,V = (),S = |,h = (),注: 也可以利用混合积的 几何意义来理解上述 公式.,h = V/S.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例4. 求直线l1:,x1,1,2,2,y+5,z,=,=,l2: x+1 = y = z1的距离及公垂线的方程.,与,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 通过直线L:,的平面束方程为,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 通过直线L:,的平面束方程为,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,例5. 已知两平面1: 2x y + z + 1 = 0,问1与2是否相交; 如果相交, 求出交线在 平面 : 2x + 3y 6 = 0上的投影直线方程.,2: x 3y + 2z + 4 = 0.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例6. 已知直线l:,(1) 求过直线l和点P的平面的方程.,x y + z + 1 = 0 2x + y z 2 = 0,P(1, 1, 1), Q(1, 0, 1).,和点,(2) 求过直线l和点Q的平面的方程.,P(1, 1, 1),Q(1, 0, 1),(1+22)x + (1+2)y + (12)z + (122) = 0,1 = 0,31 2 = 0,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,应用,极端情况 | = 0, 无方向,表示 画(有向线段) 写(AB, , ),特点 自由,要素 大小, 方向,第一章 向量代数 平面与直线,提纲, ,背景 力, 位移, 复数, ,向量,力, 位移, 复数, ,大小, 方向,自由,| = 0, 无方向,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积, ,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘,数量积,向量积,混合积, , ,交换律,结合律, ,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘, ,大小: |k| = |k|,方向: 视k的符号而定, (n+m) = , 1 = , n(m) = (nm), m(+) = ,数量积,向量积,混合积,第一章 向量代数 平面与直线,提纲,向量,运算,加法,数乘, ,基,仿射坐标系,线性运算,= xi