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文档简介
第三节 函数的极限,一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题,一、函数极限的定义,本节仿照数列极限讨论给出函数极限,先给出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近某个确定常数,那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同,函数极限的形式就不同.主要研究两种情形:,1.自变量趋于有限值时函数的极限,考虑自变量 趋近于有限值 ,记这一变化过程为,仿照数列极限的定义,给出 时函数的极限的定义.,例1 证明,证 因为 为使对于任意给定的正数 ,有 只要 ,所以对任意 ,可取 , 则当 适合不等式 时,对应的函数 值 就满足不等式 所以,证,例4,讨论单侧极限,函数值无限接近于2.,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,结论:,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量 表示 及 , 对正数 , 表示 及 .,定义4 如果对于任意给定的正数(不论它多么小)总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,所对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫函数 当 时的极限,记作,另两种情形:,结论:,几何解释:,例4,证,例5,证明,也即,二、函数极限的性质,.,定理,.,定理(保号性),推论,3.局部保号性,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证 设 ,则对任意的 , 总存在 ,当 时,有 又因为 ,则对上述的 ,存在 , 当 时,有 .由假设 , .故当 时, .从而有 即 也即函数的子列 收敛.,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,例6,证,二者不相等,三、小结,函数极限的
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