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文档简介

第一节 向量及其线性运算,一. 空间直角坐标系 二.空间两点间的距离,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二 空间两点的距离,两点间的距离公式,由勾股定理,得两点间的距离公式:,对两点,与,第二节 向量代数,一. 向量的概念 二. 向量的线性运算 三. 向量的坐标 四. 向量的数量积和方向余弦,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的线性运算,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,例1 化简,解,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,三 向量的坐标,利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,启示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,定义,四、两向量的数量积与方向余弦,关于数量积的说明：,证,证,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数：,若 、 为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标
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