全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何82直线的交点坐标与距离公式课件理课件

第二节 直线的交点坐标与距离公式,【知识梳理】 1.两条直线的交点,唯一解,无解,有无数组解,2.三种距离,【解析】解方程组 可得 所以直线2x-y=-10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8), 代入y=ax-2,得-8=a(-9)-2, 所以a= 答案:,2.(必修2P110B组T4改编)已知点A(3,2)和B(-1,4)到 直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为_. 【解析】由点到直线的距离公式可知 解得a=-4或 答案:-4或,感悟考题 试一试 3.(2016福州模拟)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离 是 ( ) 【解析】选D.由点到直线的距离公式可知:点(1,-1) 到直线x-y+1=0的距离d=,4.(2016深圳模拟)直线l1的斜率为2,l1l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为 ( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3),【解析】选D.因为l1l2,且l1的斜率为2, 所以l2的斜率为2. 又l2过点(-1,1), 所以l2的方程为y-1=2(x+1), 整理即得:y=2x+3, 令x=0,得y=3, 所以P点坐标为(0,3).,5.(2016西安模拟)点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的 距离的最大值等于_. 【解析】点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离为d= 由于 当且仅当k=1时取等号,所以d 即距离的最大值等于 答案：,考向一 直线的交点 【典例1】(1)当0k 时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2: ky-x=2k的交点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)已知直线l经过点P(3,1),且被两条平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.,【解题导引】(1)可由两直线方程求出交点坐标,再判断其横坐标和纵坐标的符号即可.(2)先求出交点坐标,再利用交点间的距离即可确定直线方程.,【规范解答】(1)选B.解方程组 得两直线 的交点坐标为 因为0k 所以 故交点在第二象限.,(2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与 l1,l2的交点分别为A(3,-4),B(3,-9),截得的线段 AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意. 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1. 解方程组,解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1. 综上可知,所求直线l的方程为x=3或y=1.,【一题多解】解答本题(2),还有以下两种解法: 【解析】方法一:由题意,直线l1,l2之间的距离为d= 且直线l被平行直线l1,l2所截得的线段AB 的长为5(如图).,设直线l与直线l1的夹角为, 则sin= 故=45. 由直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135,知直线l的倾斜角 为0或90. 又直线l过点P(3,1),故直线l的方程为x=3或y=1.,方法二:设直线l与l1,l2分别相交于点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0. 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5. 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25, 联立,可得,由上可知,直线l的倾斜角分别为90或0. 故所求直线l的方程为x=3或y=1.,【规律方法】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.,2.求过两直线交点的直线方程的方法 (1)直接法:先求出两直线的交点坐标;结合题设中的其他条件,写出直线方程;将直线方程化为一般式. (2)直线系法:设过两直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.,利用题设条件,求的值,得出直线方程. 验证A2x+B2y+C2=0是否符合题意. 得出结论. 易错提醒:利用点斜式求直线方程,不要忽略斜率不存在的情况.,【变式训练】(2016大连模拟)过点A(3,-1)作直线l交x轴于点B,交直线l1:y=2x于点C,若|BC|=2|AB|,求直线l的方程.,【解析】当斜率不存在时,B(3,0),C(3,6), 此时|BC|=6, |AB|=1,|BC|2|AB|. 所以直线l的斜率存在. 所以设直线l的方程为 y+1=k(x-3).,令y=0,得 由 得C点横坐标xC= 若|BC|=2|AB|, 则|xC-xB|=2|xA-xB|.,所以 所以 或 解得 所以所求直线l的方程为3x+2y-7=0或x-4y-7=0.,【加固训练】 1.已知两条直线l1:x+y-1=0,l2:3x+ay+2=0且l1l2, 则a等于 ( ) A. B. C.-3 D.3 【解析】选C.由l1l2,可得13+1a=0, 所以a=-3.,2.已知P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示 ( ) A.过点P且与l垂直的直线 B.过点P且与l平行的直线 C.不过点P且与l垂直的直线 D.不过点P且与l平行的直线,【解析】选D.因为P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点, 所以Ax0+By0+C=k,k0. 所以方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0, 即Ax+By+C+k=0. 因为直线Ax+By+C+k=0和直线l斜率相等,但在y轴上的截距不相等,故直线Ax+By+C+k=0和直线l平行. 由Ax0+By0+C=k,而k0, 所以Ax0+By0+C+k0, 所以直线Ax+By+C+k=0不过点P.,3.若直线5x+4y=2m+1与直线2x+3y=m的交点在第四 象限,则m的取值范围是 ( ),【解析】选D.解方程组 得 因为其交点在第四象限, 所以 0,且 0. 解得 m2.,4.已知平面上三条直线x+2y-1=0,x+1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数k的所有取值为_.,【解析】若三条直线有两条平行,另外一条与这两条直线相交,则符合要求,此时k=0或2; 若三条直线交于一点,也符合要求,此时k=1, 故实数k的所有取值为0,1,2. 答案:0,1,2,考向二 对称问题 【典例2】(1)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点 ( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2),(2)(2015广州模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 ( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0,【解题导引】(1)先求出直线l1所过的定点,该点关于点(2,1)的对称点即为所求的点.(2)可先求已知两条直线的交点,再求另外一个点关于直线x=1的对称点,利用两点式即可求直线方程.,【规范解答】(1)选B.由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).,(2)选D.由题意得直线x-2y+1=0与直线x=1的交点坐标 为(1,1). 又直线x-2y+1=0上的点(-1,0)关于直线x=1的对称点 为(3,0), 所以由直线方程的两点式,得 即x+2y-3=0.,【母题变式】1.若本题(2)条件“直线x=1”改为“直线y=1”,结果如何?,【解析】选D.由题意得直线x-2y+1=0与直线y=1的交点 坐标为(1,1). 又直线x-2y+1=0上的点(-1,0)关于直线y=1的对称点为 (-1,2), 所以由直线方程的两点式,得 即x+2y-3=0.,2.若本题(2)条件“直线x=1”改为“直线x+y-2=0”,求其对称直线的方程. 【解析】由题意得直线x-2y+1=0与直线x+y-2=0的交点坐标为(1,1). 在直线x-2y+1=0上取点A(-1,0),设A点关于直线x+y-2=0的对称点为B(m,n),则有 解上式得: 所以由直线方程的两点式,得 即2x-y-1=0.,【规律方法】 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b) 对称,则由中点坐标公式得 进而求解.,(2)直线关于点的对称,主要求解方法是: 在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; 求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.,2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称: 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称, 由方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).,(2)直线关于直线对称: 若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解. 若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解.,【变式训练】已知ABC的两个顶点A(-1,5)和B(0,-1),又知C的平分线所在的直线方程为2x-3y+6=0,求三角形各边所在直线的方程.,【解析】设A点关于直线2x-3y+6=0的对称点为A(x1,y1),同理,点B关于直线2x-3y+6=0的对称点为 因为角平分线是角的两边的对称轴, 所以A点在直线BC上. 所以直线BC的方程为y= 整理得12x-31y-31=0.,同理,直线AC的方程为y-5= 整理得24x-23y+139=0. 直线AB的方程为y= 整理得6x+y+1=0.,【加固训练】 1.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为_. 【解析】与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0. 答案:3x+4y+5=0,2.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标. (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程. (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.,【解析】(1)设A(x,y), 再由已知 解得 所以,(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m上. 设对称点为M(a,b), 则 解得,设m与l的交点为N,则由 得N(4,3). 又因为m经过点N(4,3), 所以由两点式得直线m的方程为 9x-46y+102=0.,(3)设P(x,y)为l上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y), 因为P在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.,考向三 三种距离公式的应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:两点间距离公式及应用 【典例3】(2016昆明模拟)已知A,B两点分别在两条 互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点 为 则线段AB的长为_.,【解题导引】可由两直线垂直求出a的值,再利用中点坐标及A,B两点在直线上,求出A,B两点的坐标,最后求出线段AB的长.,【规范解答】依题意,a=2,P(0,5), 设A(x,2x),B(-2y,y), 由中点坐标公式得 解得x=4,y=2,所以A(4,8),B(-4,2), |AB|= 答案:10,命题方向2:点到直线、两平行线间的距离公式及应用 【典例4】(1)(2016广州模拟)已知点(m,1)(m0)到直线l:x-y+2=0的距离为1,则实数m的值为 ( ),(2)(2016长沙模拟)已知点A(0,2), B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则 使得ABC的面积为2的点C的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1,【解题导引】(1)利用点到直线的距离公式,得出关于m的方程,解方程即得m的值.(2)设出点C的坐标,依据三角形的面积,即可求出点C的个数.,【规范解答】(1)选C.由d= 解得m= -1或m=- -1(舍). (2)选A.设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0, |AB|= 由于ABC的面积为2,则这个三角形中AB边上的高h满足方程 即h= 由点到直线的距离公式得 即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或者t2+t-2=-2. 因为这两个方程各有两个不相等的实数根,故这样的 点C有4个.,【技法感悟】 距离的求解思路 1.两点间距离公式的应用类型 (1)直接应用公式求距离. (2)根据距离求相关参量的值. (3)常用距离公式构造函数,解决最值、范围等问题.,2.点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.,3.两平行直线间的距离 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式.,【题组通关】 1.(2016贵阳模拟)在复平面内,复数 对应的点 到直线y=x+1的距离是 ( ),【解析】选A. 所以该复数对应的点为(1,1),该