已阅读5页,还剩13页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第五节 隐函数求导法,一.一个方程的情形,在一元函数微分学中,我们接触过隐函数,学习过由方程 F(x,y)=0(1)所确定的隐函数的求导方法(两边对x求导).但是 形如(1)式的方程并不一定都能确定一个一元函数y=f(x),例 如方程 x2+y2+1=0 不能确定任何实函数y=f(x),(y2= - 1- x2) 因而,有必要讨论一下F(x,y)满足什么条件时,(1)式能确定,一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理,隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导 数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),且有,利用多元复合函数的求导法则给于推导. 把方程(1)所 确定的函数y=f(x)代入(1),得Fx,f(x)=0. 由定理的条件 知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到,定理证明从略.,函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)0,若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到yxx,例2 求由方程2x2+y2=1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数.,例3 若y=G(x+y),G有二阶连续导数,求yxx,隐函数存在定理1可以推广到三元及三元以上函数的情形, 现在给出F为三元函数时,与定理1的类似结论.,数,且 F ( 的函数z=f(x,y),它满足条件,与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 Fx,y,f(x,y)=0 对上式求 x,y的偏导数.得到,由于Fz连续,且,)的某一邻域内具有连续的偏导,的某一邻域内能唯一确定一个单值连续的偏导数,)0则方程F(x,y,z)=0在,) =0 Fz (,且有,设函数F(x,y,z)在点,与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 Fx,y,f(x,y)=0 对上式求 x,y的偏导数.得到,由于Fz连续,且,隐函数存在定理2: 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0.z0)的某一邻域 内具有连续的偏导数,且F(x0,y0,z0)=0,则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一 确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足 条件Z0=f(x0,y0),并且有,Fz(x0,y0,z0)0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域 内Fz 0于是,例4 设x2+y2+z2=4z,求,例5设z为由方程F(z/x,z/y)=0所确定的x,y的函数,其中F(u,v)为可微,二.方程组的情形,函数,求,隐函数存在定理3. 设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点p(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对 各变量连续的偏导数,又F (x0,y0,u0,v0)=0,G (x0,y0,u0,v0)=0,且偏 导数组成的函数行列式(Jaqcobi)在点p (x0,y0,u0,v0)处不为0,则 方程组F=0,G=0在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内一定能确定一 组单调,连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满 足条件u0=u (x0,y0),v0=v (x0,y0),并有,公式的记忆方法,如求,分子把u换成x,其它不动,如求,分子把v换成x,其它不动,行列式的定义为,例2 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有 连续偏导数,又,(1)证明方程组,在点(x,y,u,v)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连 续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y) (2)求反函数u=u(x,y), v=v(x,y)对x,y的偏导数. 解(1)把方程组(7)改成下面的形式,(7),F(x,y,u,v)=x-x(u,v)=0 G(x,y,u,v)=y-y(u,v)=0,(2)把方程组(7)所确定的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得到,由隐函数存在定理3,我们得到结果.,则按假设我们有,例1,解:把u,v看成x,y的函数,对方程的两边对x求导,我们得到,把所给方程的两边对y求导,用同样的方法在J=x2+y20的条件下 可得到,把上述恒等式两边分
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 增强现实(AR)行业消费者群体特征分析
- 2023年襄阳谷城县消防救援大队政府专职消防员招聘考试试题及答案
- 2023年人民日报出版社有限责任公司招聘考试试题及答案
- 2023年宁波市奉化区教育系统届招聘笔试真题
- 2023年河北秦皇岛海港区南岭路幼儿园四街区分园招聘笔试真题
- 可回收材料行业投资机会分析与策略研究报告
- 2024年广西客运资格证答题软件下载
- 2024年南宁考客运资格证
- 区块链金融市场交易产业投资环境分析
- 虚拟货币行业发展建议
- 高速公路桥梁工程作业指导书
- ICU新护士6月专科理论知识考试试题
- Unit3 Fascinating Parks第三课时 基础 综合能力练习-高中英语人教版选择性必修第一次册
- 桡骨远端骨折的护理查房课件完整版
- 07-植物的生殖(说课稿PPT)
- 新生儿入户申请表
- 形式发票模板
- 山西经济出版社小学信息技术 第三册全册教案 word
- 认识钟表-空白表盘图
- 建筑毕业设计任务书
- 隧道洞身开挖情况记录表
评论
0/150
提交评论