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文档简介
一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,定理3.设函数,而,为复合函数,则,例如. 求,解:,看作,与,复合而成，,因为,而函数,在,连续，,所以,定理4. 连续函数的复合函数是连续的.,证: 设函数,于是,故复合函数,且,即,例1,是由连续函数,因此,在,上连续 .,复合而成 ,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2. 求,解:,原式,例3. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,例4. 求,解:,原式,说明: 若,则有,例5. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段
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