连续型随机变量及其概率分布.ppt

1,2.1 随机变量及其分布函数,一、随机变量的概念,基本事件,二、随机变量的分布函数,是右连续的函数.,(2),(1),(4),(3),(5),是单调不减的函数；,复 习,2,复习 2.2 离散型随机变量及其概率分布,二、离散型随机变量的常用分布,3,概率密度的性质,2.3 连续型随机变量及其概率分布,二、连续型随机变量的密度函数,三、连续型随机变量一般定义,4,连续型随机变量 取得它的任何可能值 的概率等于零，,连续型随机变量 的分布函数,2.3 连续型随机变量及其概率分布,一、连续型随机变量的特点,连续型随机变量在试验的结果中可以取得某一区间内的任何数值.,讨论连续型随机变量并不关心它等于某一个值的的概率，而是关心它落在某一区间内的概率,概率为0的事件未必是不可能事件，概率为1的事件未必是必然事件,一定是连续函数,5,的圆内的概率，与圆盘上以 为半径的同心圆的面积成正比，,弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 为半径,射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 表示,设每次射击都能中靶，试求 的分布函数,并求概率,例1,解,6,当 时，设 ，则由题意得,当 时，,设连续型随机变量 是电子管的使用寿命，则 的分布函数,，其中 是常数， 表示当 时，较,使用了 小时的电子管在以后的 小时内损坏的概率等于,例2,高阶的无穷小量. 求电子管的使用寿命(即电子管损坏前已使用的时数)的分布函数.,解,7,8,二、连续型随机变量的密度函数,随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:,9,概率密度的性质：,(1)：非负性,注:,(2)：规范性,概率密度的图形 通常叫做 分布曲线。,内的概率为：,(3)：,10,的圆内的概率，与圆盘上以 为半径的同心圆的面积成正比，,弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 为半径,射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 表示,设每次射击都能中靶，试求 的密度函数,并求概率,例3,解,11,对任意实数 ，有,设 为随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，,则 称为连续型随机变量，称 为 的概率密度函数或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.,三、连续型随机变量一般定义,定义,利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质,12,例4 设连续型随机变量 X 的概率密度为,其中 k 为正整数，求系数 A 的值。,解,令,得,即：,伽玛函数的定义：,伽玛函数的性质：,P44,13,注：,若随机变量 X 的概率密度为,并记作 。,14,练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为,求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率;,(3)随机变量X的概率密度.,解,(1),解得,(2),(3),15,连续型,密度函数 X p(x) ( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,离散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 点点计较,5. F(x)为阶梯函数。,5. F(x)为连续函数。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,16,1、均匀分布,定义,设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区,并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：,此分布叫做均匀分布（或等概率分布）。,事实上,间,即,四、连续型随机变量的常见分布,17,若 ，则对于任意实数 ( )有,均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：,的取值落在区间 内的任意子区间上的概率，与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关,18,的密度函数,设随机变量 服从区间 上的均匀分布，试求一元二次,故所求概率,例5,方程 有实根的概率.,解,19,又设 为乘客的等候时间，,设乘客到达候车地点的时间为7点 分,其密度函数,例6,某长途汽车每天有两班，发车时间分别为7:30和8:00，某乘客在7:00至8:00之间的任意时刻到达候车地点是等可能的，试求该乘客候车时间不超过20分钟的概率.,解,20,均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与地面接触的点的位置X应服从0, 2r上的均匀分布，即 X0, 2r ，即在 0, 2r 上任一等长的小区间上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白均匀分布的含义了.,21,定义,其中 0 为常数。,显然,2、指数分布,设连续型随机变量 X 的概率密度,此类分布为指数分布，,记作,22,若 ，则对于任意 ，有,事实上，,这种性质叫做指数分布的“无记忆性”，故又把指数分布称为“永远年轻”的分布.,我们一般说电子管的使用寿命近似服从指数分布,23,例 已知某电子管的寿命X （小时）服从指数分布：,求这种电子管使用1000小时以上的概率。,解,指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话的通话时间；排队时所需的等待时间都常假定服从指数分布因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用,24,指数分布， 的计时单位为分钟，若等候时间超过10分钟，,的分布律以及概率,已知顾客在某银行窗口等候服务的时间 服从参数为的,他就离开. 设他在一个月内要到银行5次，以 表示一个月内他,例7,因等候时间超过10分钟，没有得到服务而离开银行