空间向量的数乘运算》(1).ppt

3.1.2空间向量的数乘运算,一、空间向量的数乘：,2、空间向量的数乘的性质,1、定义：,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘,2、空间向量的数乘的运算律,（3）数乘结合律：,（1）数乘分配律1：,（2）数乘分配律2：,1、定义：,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合， 则这些向量叫做,共线向量,二、空间中的共线向量,（或平行向量）,2、空间中共线向量的性质,（1）,共线,（2）非零共线向量的传递性：,（3）零向量与任一向量共线，,（4）空间共线向量定理：,对空间任意两个向量,有且只有一个实数 ， 使,思考1：为什么要强调,思考2：这个定理有什么作用？,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,B,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,因为,所以,特别的，当x = 时，,则有,进一步，,P点为A,B 的中点,B,即,A、B、P三点共线,判定三点共线的方法总结：,312,空间向量的基本定理,共面向量定理,共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?,如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a a1 e1 a2 e2,2、平面向量基本定理,复习：,（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面， 则通过平移一定可以使他们位于同一平面内， 由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y， 使cx ay b,3、共面向量定理：,如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使 cx ay b,证明：,共面向量定理的剖析,如果两个向量 a，b 不共线,(性质),(判定),得证.,判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：,（1）只需得到存在实数 ，使,（2）对空间任意点O，存在实数t,使,特别地，当t=1/2时，,此时，点C恰为线段AB的,中点,例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：,例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 , , , , 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： (A)若 ，则P、A、B共线 (B)若 ，则P是AB的中点 (C)若 ，则P、A、B不共线 (D)若 ，则P、A、B共线,2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 O， , 则x的值为( ),1.下列说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线,2.下列说法