江苏2020版高考数学第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第六节指数与指数函数学案（理）（含解析）.docx

第六节 指数与指数函数1有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)s(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；x0时，0y1当x0时，0y1；x0时，y1在区间(，)上是增函数在区间(，)上是减函数小题体验1函数f(x)2ax11(a0，且a1)恒过定点_答案：(1,1)2已知0.2m0.2n，则m_n(填“”或“”)答案：3计算：(a2)()_.答案：a1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a1.小题纠偏1化简(a0，b0)的结果为_答案：2若函数y(a1)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案：(1,2)题组练透化简与求值：(1)022(0.01)0.5；(2)ab2；(3).解：(1)原式111.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.(3)原式ab.谨记通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答典例引领1(2019苏州调研)若a1，b1，则函数f(x)axb的图象经过第_象限解析：a1，yax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1)，f(x)axb的图象可看成把yax的图象向下平移b(b1)个单位得到的，故函数f(x)axb的图象经过第一、三、四象限答案：一、三、四2已知f(x)|2x1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x1)与f(x)的大小解：(1)由f(x)|2x1|可作出函数f(x)的图象如图所示因此函数f(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x1)的图象，如图所示由图象知，当2112，即x0log2时，两图象相交，由图象可知，当xlog2时，f(x)f(x1)；当xlog2时，f(x)f(x1)；当xlog2时，f(x)f(x1)由题悟法指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解即时应用1若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：作出曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1答案：1,12已知函数y|x1|.(1)作出该函数的图象；(2)由图象指出函数的单调区间解：(1)y|x1|其图象由两部分组成：一部分是：yx(x0)yx1(x1)；另一部分是：y3x(x0)y3x1(x1)，函数图象如图所示(2)由图象知函数的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)锁定考向高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单的指数不等式；(3)指数型函数的性质 题点全练角度一：比较指数式的大小1设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是_(用“”表示)解析：因为函数y0.6x是减函数，00.61.5，所以10.60.60.61.5，即ba1.因为函数y1.5x在(0，)上是增函数，060，所以1.50.61.501，即c1.综上，cab.答案：cab角度二：简单的指数不等式2设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3，因为01，所以a3，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a1.故a的取值范围是(3,1)答案：(3,1)角度三：指数型函数的性质3(1)若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)上单调递增，则实数m的最小值等于_(2)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值为14，则a的值为_解析：(1)函数f(x)2|xa|(aR)的图象关于直线xa对称，由f(1x)f(1x)得函数f(x)的图象关于直线x1对称，故a1，则f(x)2|x1|由复合函数的单调性得f(x)在1，)上单调递增，故m1，所以实数m的最小值等于1.(2)令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t.又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0a1时，因为x1,1，所以t.又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax2214，解得a(负值舍去)综上，a3或a.答案：(1)1(2)3或4(2019启东中学高三检测)已知函数f(x)9x2a3x3.(1)若a1，x0,1，求f(x)的值域；(2)当x1,1时，求f(x)的最小值h(a)；(3)是否存在实数m，n，同时满足下列条件：nm3；当h(a)的定义域为m，n时，其值域为m2，n2若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1)当a1时，f(x)9x23x3，则f(x)(3x1)22.因为x0,1，所以3x1,3，f(x)2,6(2)令3xt，因为x1,1，故t，函数f(x)可化为g(t)t22at3(ta)23a2.当a时，h(a)g；当a3时，h(a)g(a)3a2；当a3时，h(a)g(3)126a.综上，h(a)(3)因为nm3，h(a)126a为减函数，所以h(a)在m，n上的值域为h(n)，h(m)，又h(a)在m，n上的值域为m2，n2，所以即两式相减，得6(mn)m2n2(mn)(mn)，所以mn6.而由nm3可得mn6，矛盾所以不存在满足条件的实数m，n.通法在握应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解指数型函数的性质与探究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致提醒在探究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论演练冲关已知函数f(x)bax(其中a，b为常数且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式xxm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为f(x)bax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以得a24，又a0且a1，所以a2，b3，所以f(x)32x.(2)由(1)知xxm0在(，1上恒成立可转化为mxx在(，1上恒成立令g(x)xx，则g(x)在(，1上单调递减，所以mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019连云港调研)已知a3，be，ce3，则a，b，c的大小关系为_解析：由yex是增函数，得bece3，由yx是增函数，得a3be，故cba.答案：cba2已知函数yax13(a0且a1)图象经过点P，则点P的坐标为_解析：当x1时，ya034，函数yax13(a0且a1)的图象恒过定点(1,4)点P的坐标为(1,4)答案：(1,4)3在同一平面直角坐标系中，函数f(x)2x1与g(x)x1的图象关于_对称解析：因为g(x)21xf(x)，所以f(x)与g(x)的图象关于y轴对称答案：y轴4已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为_解析：由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故f(x)的值域为1,9答案：1,95不等式2x4的解集为_解析：不等式2x22xx4可化为x22xx4，等价于x22xx4，即x23x40，解得1x4.答案：x|1x46(2019徐州调研)若函数f(x)ax1(a1)在区间2,3上的最大值比最小值大，则a_.解析：函数f(x)ax1(a1)在区间2,3上为增函数，f(x)maxf(3)a2，f(x)minf(2)a.由题意可得a2a，解得a.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1若函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的大小关系是_解析：由题意知a1，f(4)a3，f(1)a2，由yat(a1)的单调性知a3a2，所以f(4)f(1)答案：f(4)f(1) 2(2018启东中学检测)满足x316的x的取值范围是_解析：x316，x32，函数yx在定义域上是减函数，x32，故x1.答案：(，1)3已知实数a，b满足等式2 017a2 018b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_个解析：设2 017a2 018bt，如图所示，由函数图象，可得若t1，则有ab0；若t1，则有ab0；若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立答案：24若函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：依题意，a应满足解得a.答案：5(2019苏州中学检测)函数f(x)x21的值域为_解析：令ux21，可得f(u)u是减函数，而ux21的值域为1，)，函数f(x)x21的值域为.答案：6(2019无锡调研)函数f(x)x22x6的单调递增区间是_解析：设u(x)x22x6(x1)25，对称轴为x1，则u(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又yx在R上单调递减，所以f(x) x22x6在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减答案：(，1)7已知函数f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_解析：因为f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以1，解得0a1.答案：(0,1)8当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_解析：原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.答案：(1,2)9化简下列各式：(1)0.50.1230；(2) .解：(1)原式31003100.(2)原式 aaaa.10(2018苏州调研)已知函数f(x)3x3x(R)(1)若f(x)为奇函数，求的值和此时不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)6对x0,2恒成立，求实数的取值范围解：(1)函数f(x)3x3x的定义域为R.因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)0对xR恒成立， 即3x3x3x3x(1)(3x3x)0对xR恒成立，所以1.由f(x)3x3x1，得(3x)23x10，解得3x或3x(舍去)，所以不等式f(x)1的解集为.(2)由f(x)6，得3x3x6，即3x6.令t3x1,9，则问题等价于t6对t1,9恒成立，即t26t对t1,9恒成立，令g(t)t26t，t1,9，因为g(t)在1,3上单调递增，在3,9上单调递减，所以当t9时，g(t)有最小值g(9)27，所以27，即实数的取值范围为(，27三上台阶，自主选做志在冲刺名校1当x1,2时，函数yx2与yax(a0)的图象有交点，则a的取值范围是_解析：当a1时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足22a2，即1a；当0a1时，如图所示，需满足12a1，即a1.综上可知，a.答案：2(2018南京调研)已知二次函数f(x)mx22x3，关于实数x的不等式f(x)0的解集为1，n(1)当a0时，解关于x的不等式ax2n1(m1)x2ax；(2)是否存在实数a(0,1)，使得关于x的函数yf(ax)3ax1在x1,2上的最小值为？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)由f(x)mx22x30的解集为1，n知，关于x的方程mx22x30的两根为1和n，且m0，则所以所以原不等式可化为(x2)(ax2)0.当a0时，原不等式化为(x2)(2)0，解得x2；当0a1时，原不等式化为(x2)0，且2，解得x或x2；当a1时，原