2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用学案理201805212194.doc

43平面向量的数量积及其应用知识梳理1两个向量的夹角2平面向量的数量积3平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos.特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别(2)对于两个非零向量a与b，由于当0时，ab0，所以ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；ab0也不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.(3)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，若abbc(b0)，则ac.但对于向量a，b却有|ab|a|b|；若abbc(b0)，则ac不一定成立例如ab|a|b|cos，当cos0时，a与c不一定相等又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故abbc，但ac.(4)两个向量的数量积是一个实数0a0(实数)而0a0.(5)数量积不满足结合律(ab)ca(bc)(6)ab中的“”不能省略诊断自测1概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，AB|A|B|cosB.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4 P108T3)已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12 B6 C3 D3答案B解析ab12|a|b|cos135，解得|b|6.故选B.(2)(必修A4 P104例1)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos4cos1202.3小题热身(1)(2017包头质检)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析cosABC，所以ABC30.故选A.(2)已知向量a，b的夹角为60，|a|2, |b|1，则|a2b|_.答案2解析由题意知ab|a|b|cos60211，则|a2b|2(a2b)2|a|24|b|24ab44412.所以|a2b|2.题型1平面向量数量积的运算角度1求数量积已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B. C. D.本题可采用向量坐标法答案B解析建立平面直角坐标系，如图则B，C，A，所以(1,0)易知DEAC，则EFAC，因为FEC60，所以点F的坐标为，所以，所以(1,0).故选B.角度2平面向量的夹角与垂直问题已知ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则的取值范围为()A2,18) B.C. D(2,93)本题采用转化思想、向量法、余弦定理答案C解析由题意可得abc6，且b2ac，b，从而0b2.再由|ac|b，得(ac)2b2，(ac)24acb2，(6b)24b20.又b0，解得b，b2，cosB，accosB(b3)227，则2.故选C.角度3求向量的模(或最值、范围)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7 C8 D9本题采用三角函数法、不等式法答案B解析解法一：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos，sin)，(cos2，sin)，(cos6，sin)，|7，当且仅当cos1时取等号，此时B(1,0)，故|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得2(O为坐标原点)，又，|3|3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(1,0)，故|max7.故选B.方法技巧求向量模及最值(范围)的方法1代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解2几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解3利用绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|求模的取值范围冲关针对训练1已知向量a，b，c，满足|a|2，|b|ab3，若(c2a)0，则|bc|的最小值是()A2 B2 C1 D2答案A解析根据条件，设a(1, )，b(3,0)，设c(x，y)，则(c2a)(x2，y2)(x2，y)0；(x2)2(y)23；c的终点在以(2，)为圆心，为半径的圆上，如图所示：|bc|的最小值为2.故选A.2已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案2解析解法一：()2222222.解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，(1,2)，(2,2)，则(1,2)(2,2)1(2)222.题型2平面向量的综合应用角度1在平面几何中的应用已知ABC的三边长AC3，BC4，AB5，P为AB边上任意一点，则()的最大值为_本题采用坐标法、基向量法答案9解析(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0y3,0x4，则()(x，y)(0,3)3y，当y3时，取得最大值9.角度2三角函数与向量已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值利用转化法将向量方程转化为三角方程解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.因为a2b2|a|2|b|21，所以12ab12.所以ab0.故ab.(2)因为ab(coscos，sinsin)(0,1)，所以由此得coscos()，由 0，得0.又0，所以，.角度3向量与解析几何的综合已知动直线l与圆O：x2y24相交于A，B两点，且满足|AB|2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为()A3 B2 C2 D3运用数形结合思想，坐标法化为代数问题答案A解析动直线l与圆O：x2y24相交于A，B两点，且满足|AB|2，则OAB为等边三角形，于是可设动直线l为y(x2)，根据题意可得B(2,0)，A(1，)，M是线段AB的中点，M.设C(x，y)，(2x，y)(1x，y)，解得C，3，故选A.已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线m：3x2y0平分圆C.(1)求圆C的方程；(2)若直线l：ykx2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得6(O为坐标原点)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由坐标法，利用向量的坐标与解析几何的坐标的关系求解解(1)线段AB的中点E，kAB1，故线段AB的中垂线方程为yx，即xy10.因为圆C经过A，B两点，故圆心在线段AB的中垂线上又因为直线m：3x2y0平分圆C，所以直线m经过圆心由解得即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r|BC|1，所以圆C的方程为(x2)2(y3)21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykx2代入圆C的方程，即(1k2)x2(2k4)x40，由(2k4)216(1k2)0，得0k0，与直线l与圆C交于M，N两点相矛盾，所以不存在直线l，使得6.方法技巧1平面向量的模及其应用的类型及解题策略(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解2向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些如角度1典例3向量与三角函数综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识4向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到如角度3典例1.冲关针对训练1(2018沈阳模拟)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则()A20 B15 C9 D6答案C解析如图所示，四边形ABCD为平行四边形，点M，N满足3，2，根据图形可得：，()2，222，22，|6，|4，221239.故选C.2已知，|，|t，若P点是ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于()A13 B15 C19 D21答案A解析由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B，C(0，t)，P(1,4)，(1，t4)，4(t4)17，由基本不等式可得4t24，1717413，当且仅当4t，即t时取等号，的最大值为13，故选A.3过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28x By24xCy216x Dy24x答案B解析如图所示，F为线段AB中点，AFAC，ABC30.由48，得BC4，得AC4.由中位线的性质有pAC2.故抛物线的方程为y24x.故选B.1.(2017湖南长沙二模)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1答案B解析解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222.故选B.解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取得最小值，最小值为2.故选B.2(2018江西质检)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.答案2解析由|ab|2|a|2|b|2，可得ab0.abm20，m2.3(2017河北模拟)已知是锐角三角形的最小内角，向量a(sin，1)，b(1，cos)，则ab的取值范围是_答案(1， 解析由题意知0，absincossin，由，得0，得m，又xAxB，xAxBm，所以yAyB(xAm)(xBm)，由()2xAxByAyB1m22，解得m.故选C.8对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab等于()A. B. C1 D.答案D解析根据新定义，得abcos，bacos.又因为ab和ba都在集合中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又，所以0n1n22.所以n1，n2的值均为1，故ab.故选D.9已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且cacb1，则对任意的正实数t，的最小值是()A2 B2 C4 D4答案B解析设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则由cacb1，得c(1,1)，ctab(1,1)t(1,0)(0,1)，2，当且仅当t1时等号成立故选B.10已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2答案A解析以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a(1,0)，b(0,1)，设c(x，y)，则cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21.即(x，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|.所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|r|c|OM|r，即|c|1，1故选A.二、填空题11已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|a2b|2，则|b|_.答案3解析因为|a|2，|a2b|2，所以(a2b)228，即44ab4|b|228，又向量a，b的夹角为60，所以442|b|cos604|b|228，解得|b|3.12已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos_.答案解析ab(3e12e2)(3e1e2)929118.|a|2(3e12e2)29412119，|a|3.|b|2(3e1e2)2916118，|b|2，cos.13在平行四边形ABCD中，A，